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解決済みの質問

中学数学の図形相似問題を解説してください。

中学生です。数学の問題が分かりません。
図形の相似問題が分かりません。
教えてください。

問題)
添付ファイルの図で
AB//EF//CD,AB=a,CD=b,EF=xであるとき、
1/x=1/a+1/b (分数の表示が出来ませんでしたので / を使いました)
であることを示せ。
という問題です。

判りましたら、やさしく教えてください。宜しくお願いします。
図形は添付してみました。

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投稿日時 - 2011-03-20 17:11:55

QNo.6606933

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

比を表すときa:b=x:yだと中の値の掛け算と外側の値の掛け算が等しいのはわかりますか?
bx=ayになります
具体的に数字をいれると
1:2=3:6で
2×3=1×6ですね。これと同じことをやっています

その次は
x=ab/(a+b)が出てきたら

1/xのxを分母分子ひっくり返しているので右辺のab/(a+b)も分母分子をひっくり返します
1/x=(a+b)/ab
ここでぶんしを分けています
例えば数字でいうと
(2+3)/6=(2/6)+(3/6)というふうになりますね
同じように上の式は
(a/ab)+(b/ab)に分けられます。あとは約分です

投稿日時 - 2011-03-20 18:26:32

お礼

ありがとうございました。おかげさまで解けました。

投稿日時 - 2011-03-20 23:44:48

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回答(4)

ANo.4

△ABDと△EFDで
  AB平行EFより ∠BAD=∠FED(同位角)
  ∠ADB=∠EDF(共通)
2角がそれぞれ等しいので △ABD∽△EFD
だから a:x=BD:FD・・・(1)

次に△CBDと△EBFで同様にして
2角がそれぞれ等しいので △CBD∽△EBF
だから b:x=BD:BF・・・(2)

(1)より aFD=xBD FD=(x/a)BD・・・(1)’
(2)より bBF=xBD BF=(x/b)BD・・・(2)’
(1)’+(2)’ より
FD+BF=(x/a)BD+(x/b)BD

FD+BF=BD だから 
BD=(x/a)BD+(x/b)BD
両辺をBDで割ると 1=(x/a)+(x/b)
さらに両辺をxで割ると 1/x=1/a+1/b

投稿日時 - 2011-03-20 18:51:27

お礼

回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2011-03-20 23:52:43

ANo.2

△ABEと△DECは相似でAB:CD=a:bより
高さのBF:DFの長さの比もa:bになります---(1)
△ABDと△EFDも相似なので
AB:FF=a:x=BD:FDになります
BDの長さを1とすると(1)よりFD=b/(a+b)なので
a:x=1:b/(a+b)
x=ab/(a+b)

1/x=(a+b)/ab
=a/ab+b/ab
=1/b+1/a

投稿日時 - 2011-03-20 17:42:27

補足

回答ありがとうございます。
能力オーバーでよく分かりません。

式がごちゃごちゃになってしまってます。
a:x=1:b/(a+b)
x=ab/(a+b)

1/x=(a+b)/ab
=a/ab+b/ab
=1/b+1/a
を図に描いて教えていただけませんでしょうか。
すみません。宜しくお願いします。
ぜひお願いします。

投稿日時 - 2011-03-20 18:15:03

ANo.1

AB//EF より、⊿ABD∽⊿EFD、よって、DF:DB = EF:AB = x:a、∴ DF = (x/a)BD
CD//EF より、⊿CDB∽⊿EFB、よって、BF:BD = EF:CD = x:b、∴ BF = (x/b)BD
DF + BF = BD だから、BD = (x/a)BD + (x/b)BD = (x/a + x/b)BD
両辺をBDで割ると、1 = x/a + x/b、さらに両辺をxで割ると、1/x = 1/a + 1/b

投稿日時 - 2011-03-20 17:37:27

補足

早速の回答ありがとうございます。
すみません。追加で教えてください。
(x/a)BD、(x/b)BDなどのBDの意味がよくわかりません。
BDは長さだと分かるのですが、なぜBDを使うか分かりません。
もう少し詳しくお願いできませんか。
宜しくお願いします。

投稿日時 - 2011-03-20 17:54:45

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