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解決済みの質問

2次方程式の解き方

はじめて利用します。

数学の質問です。

2次方程式
ax2乗 + bx + c = 0 (a≠0)

この式の解き方を教えてください。
(途中式を省かず書いていただけると有難いです)
計算していくと途中で分数のルート計算になるのですが、そこの解き方がわかりません。

どうぞよろしくお願いします。

投稿日時 - 2011-04-09 15:53:45

QNo.6655964

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

はじめまして。
自分は初めて回答します。よろしくお願い致します。


結論から言うと、xの解は解の公式で
x = -b ± √(b2乗 - 4ac) / 2a
と求められますが、何故この式に到達するのか?ということですね。

※以下の式の見方ですが、加減乗除等の優先順位に従って見て下さい。
例えば、bx / a + c / a は、
  bx  c
  -- + --
  a   a          という意味になります。

±√{(b2乗 - 4ac) / 4a2乗}は、
      _______________
     / b2乗 - 4ac
±  / ----------
  V    4×a2乗       です。

以下証明です。

ax2乗 + bx + c = 0 (a≠0) …(1)

について両辺をaで割ると、

x2乗 + bx / a + c / a = 0 … (2)

になります。
ここで、左辺の第二項の係数 b / a の値を2で割り、出た値を2乗すると、

b2乗 / (4a2乗) … (3)

になります。これを用いて、(2)を変形すると、

x2乗 + bx / a + b2乗 / (4a2乗) - b2乗 / (4a2乗) + c / a = 0 … (4)

になります。(3)の値を(2)の左辺の bx / a と c / a の間に書きました。(3)の値を足した後に引いているので、(左辺) = 0 の関係は崩れませんよね。

(4)式の第一項から第三項まで着目し、因数分解します。何故(3)の値を式中に加えたかというと、
a2乗 ± 2ab + b2乗 = (a ± b)2乗 の因数分解を行いたいためです。

(x + b / 2a)2乗 - b2乗 / (4a2乗) + c / a = 0 … (5)

と変形します。次にxが付いていない項を右辺に移項し、通分します。

(x + b / 2a)2乗 = b2乗 / (4a2乗) - c / a
          = (b2乗 - 4ac) / 4a2乗 … (6)

少しずつ解の公式に近づいてきましたね。
(6)式の左辺の2乗を外します。右辺に±を付けることを忘れないようにしましょう。

x + b / 2a = ±√{(b2乗 - 4ac) / 4a2乗}
       =±√(b2乗 - 4ac) / 2a … (7)

最後に、左辺の b / 2a を右辺に移項し、通分します。

x = - b / 2a ±√(b2乗 - 4ac) / 2a
 = - b ±√(b2乗 - 4ac) / 2a … (8) (証明終わり)//

上記の感じです。

コツとしては、(1)にはxが2個ありますが、それを1個にまとめるところです。
そのために、途中で因数分解を行いました。

不明な点があったら、また質問下さい。

投稿日時 - 2011-04-09 17:10:07

お礼

詳しく、丁寧な回答をありがとうございます!

因数分解を理解していないので、因数分解を勉強してから、
わからない部分を改めて質問させていただきたいと思います。

その際は、どうぞよろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2011-04-09 21:54:18

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回答(6)

ANo.6

分数の平方根が苦手ならば、
最初に両辺を 4a 倍するとよいです。
4(aの2乗)(xの2乗) + 4abx + 4ac = 0.
平方完成して、
(2ax + b)の2乗 = bの2乗 - 4ac.
開平して、
2ax + b = ±√(bの2乗 - 4ac).
一次方程式を解いて、
x ={-b±√(bの2乗 - 4ac)}/(2a)

投稿日時 - 2011-04-09 17:33:17

お礼

新しい解き方を教えていただき、

ありがとうございます。

もっと勉強して、この解き方を理解していきたいと思います。

投稿日時 - 2011-04-09 21:57:02

ANo.4

ANo.2で回答したものです。
確かに最後でマイナス付け忘れてました。

投稿日時 - 2011-04-09 16:31:29

ANo.3

最後のところマイナスが抜けていますのでNO1さんのが正解

投稿日時 - 2011-04-09 16:18:21

ANo.2

ax^2+bx+c
=a(x^2+(b/a)x)+c
=a(x+(b/2a))^2-a×(b/2a)^2+c
=a(x+(b/2a))^2-b^2/4a+c=0より
a(x+(b/2a))^2=(b^2/4a)-c
a(x+(b/2a))^2=(b^2-4ac)/4a
(x+(b/2a))^2=(b^2-4ac)/4a^2
x+(b/2a)=±√(b^2-4ac)/2a
x=(b±√(b^2-4ac))/2a

投稿日時 - 2011-04-09 16:16:21

お礼

早速の回答を感謝いたします。

参考にさせていただき、解き方を身につけていきたいと思います。

ありがとうございます!

投稿日時 - 2011-04-09 21:46:55

ANo.1

ax^2+bx+c=0
a(x^2+bx/a)+c=0
a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a=0
a(x+b/2a)^2=b^2/4a-c
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/4a^2)
x+b/2a=±√((b^2-4ac)/4a^2)
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

投稿日時 - 2011-04-09 16:13:57

お礼

早速の回答を感謝いたします。

参考にさせていただき、解き方を身につけていきたいと思います。

ありがとうございます!

投稿日時 - 2011-04-09 21:43:50

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