こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

不等式の証明

x,y,zは実数で,xyz=1を満たすとき、次の不等式を示せ。

x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2>=1

考えたのは、3通りで、
(1) zを消去して、x,yにして、1文字固定。しかし、式がきれいにならず、計算で挫折
(2) x,y,zを正の数、負の数で場合分けして、相加相乗平均を使うが進展しない
(3) コーシーシュワルツも相加相乗と同様進展しない

アドバイスお願いします。

投稿日時 - 2011-06-17 12:01:28

QNo.6815706

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

一見して、置き換えに気がつく。

x/(x-1)=α、y/(y-1)=β、z/(z-1)=γ とする。
x=α(x-1)から、(α-1)x=α 。α≠1だから、x=α/(α-1)であり、それはyとzについても同じだから、y=β/(β-1)、z=γ/(γ-1)となる。
これを、xyz=1 に代入すると、αβγ=(α-1)*(β-1)*(γ-1) → α+β+γ=αβ+βγ+γα+1.
α+β+γ=m、β+βγ+γα=nとすると、m=n+1
証明する式は、α^2+β^2+γ^2-1≧0 だから、α^2+β^2+γ^2-1=m^2-2n-1=n^2≧0
それで、等号成立は?

投稿日時 - 2011-06-17 12:45:48

お礼

回答ありがとうございます
いつもながら、鮮やかです。
置き換えという手法は、記憶しておきます。(使いこなせるかは別であるが)
置き換えによって何が起きたのか、・・・ずいぶん考えやすい形になるものだと
感心します。
等号はn=0のときで、α+β+γ=1、αβ+βγ+γα=0、αβγ=?
xyz=1,xy+yz+zx=3,x+y+z=?
等号のときx,y,zはどうなるのか・・・考え中。

  

投稿日時 - 2011-06-17 13:38:00

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(1)