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三角関数の不等式についてです

cos2Θ-sinΘ≦0の不等式を、0≦Θ<2πの範囲で解け。

で、因数分解の形にして、sinΘ≦-1、2分の1≦sinΘとなるのですがなぜでしょうか?
また、-1≦sinΘ≦1という条件?が不等式の問題だと必ずでてくるのですがこれはどういうことですか?


ちなみに答えは6分のπ≦Θ≦6分の5π、Θ=2分の3πです。

この問題はニューグローバルβの297です。

よろしくおねがいします。

投稿日時 - 2011-06-24 19:26:23

QNo.6832564

困ってます

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回答(4)

ANo.4

s = sinθ で置き換えると、
質問の式は二次不等式となって、
s≦-1 または 1/2≦s と解けます。

θ が虚数でもよければ、sinθ = -2 等で
式が成立する場合もありますが、
0≦θ<2π と制限されているので
-1≦sinθ≦1 であり、
s=-1 または 1/2≦s≦1 の範囲で
対応する θ を探すことになります。

投稿日時 - 2011-06-24 23:11:00

ANo.3

こんにちは。

cos2θ = cos^2θ - sin^2θ = (1-sin^2θ) - sin^2θ
 = 1 - 2sin^2θ

>>>sinΘ≦-1、2分の1≦sinΘとなるのですがなぜでしょうか?

t = -(cos2θ - sinθ)
と置いて、

t = -{(1 - 2sin^2θ) - sinθ}
 = 2sin^2θ + sinθ - 1

sinθ = x と書くことにして

t = 2x^2 + x - 1
2t = 4x^2 + 2x - 2
 = (2x)^2 + 2x - 2
 = {(2x)^2 + 2x + 1/4} - 2 - 1/4
 = (2x + 1/2)^2 - 9/4

cos2Θ-sinΘ≦0 であるためには 2t≧0 なので

(2x + 1/2)^2 - 9/4 ≧ 0
(2x + 1/2)^2 - (3/2)^2 ≧ 0
(2x + 1/2 + 3/2)(2x + 1/2 - 3/2) ≧ 0
(2x + 2)(2x - 1) ≧ 0
4(x + 1)(x - 1/2) ≧ 0
x≦-1 または x≧1/2
sinθ≦-1 または 1/2≦sinθ

しかし、-1≦sinθ≦1 なので、
sinθ=-1 または 1/2≦sinθ≦1
θ=270° または 30°≦θ≦150°
ラジアンで書けば
θ=2π×270/360  または  2π×30/360≦θ≦2π×150/360
θ=3π/2  または  π/6≦θ≦5π/6

>>>また、-1≦sinΘ≦1という条件?が不等式の問題だと必ずでてくるのですがこれはどういうことですか?

そもそも、sin や cos は、1より大きくなれるんでしたっけ?
(原点が(0,0)で半径が1の円周上の点のX座標が cos 、Y座標が sin なので、1より大きくなれません。)

投稿日時 - 2011-06-24 20:11:37

cos 2θ-sinθ≦0
(1-2sin²θ)-sinθ≦0
2sin²θ+sinθ-1≧0
(2sin²θ-1)(sinθ+1)≧0
sinθ≦-1,1/2≦sinθ
ここで 0≦θ< 2πであるから
sinθ=-1,1/2≦sinθ≦1
π/6≦θ≦5π/6,θ=3π/2

投稿日時 - 2011-06-24 20:03:23

ANo.1

>-1≦sinΘ≦1という条件

まず、三角関数とは何かを勉強してグラフでも書けばいいと思います。
理解する気があるなら、基礎からやらないとだめです。
一時しのぎでいいならテキトウにどうぞ。

因数分解の形と言うのが分かりませんけど、cos2θがあるので、倍角公式を使ってsinθだけの形にすればOKでしょうね。

まず、角度の部分が同じものだけに変換するのを考えないと解くのが大変になります。

答えだけじゃなく、基礎をやらないとそのうち引き返せないことになるかもしれません。

投稿日時 - 2011-06-24 20:00:06

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