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不等式の証明

実数a>0,b>0,c>0のとき、、
a/√(a^2+8bc)+b/√(b^2+8ac)+c/√(c^2+8ab)>=1 を示せ。

1/√(1+8*b/a*c/a)+1/√(1+8*a/b*c/b)+1/√(1+8*a/c*b/c)>=1 を示すことになる。
b/a=x,c/b=y,a/c=zとおくと、xyz=1。
1/√(1+8x/z)+1/√(1+8y/x)+1/√(1+8z/y)>=1

このあと、z=1/xyとして、zを消去して、不等式の左辺のxを固定して、yで微分して、
最小値をもとめ、次にxで微分して、最小値を求める。という流れが頭の中では考えられるのですが
計算を始めると、分けが分からなくなります。
この種の3つの文字がある場合の不等式は、良いアイデアが思い浮かばないと証明できないことが
多いと思いますが、1文字消去で、固定して微分するという方法は計算が進めば、どんな場合でも使えると思います。
この問題の場合、この方針でいったい解けるのでしょうか。それだけでもわかれば、力が沸きもう一度やってみようという気持ちになります。よろしくお願いします。

投稿日時 - 2011-07-07 16:34:24

QNo.6860478

困ってます

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回答(2)

ANo.2

お礼

回答ありがとうございます
ちょっと理解できないところがあるのですが、
雰囲気は感じることができます。
証明はできないが。。。

投稿日時 - 2011-07-08 09:59:19

ANo.1

検索すると、2001年国際数学オリンピックの
第2問ですね。色々検索すると解法も出てきますよ。

投稿日時 - 2011-07-07 23:38:36