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解決済みの質問

因数分解

度々お世話になります。また、今後もお世話になると思います。

不等式の証明問題です。
「a、b、c、dが正の数であるとき、(ab+cd)(ac+bd)≧4abcdを証明しろ」

左辺-右辺≧0を示す。

左辺-右辺=bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)-(4abcd)
=bc(a^2+2ad+d^2)+ad(b^2-2bc+c^2)=bc(a-d)^2+ad(b-c)^2……★
aもbもcもdも正の数なので、★は0以上。よって、命題の不等式は成り立つ。

証明の流れはほぼ正しかったのですが(ただ左辺-右辺≧0を示せば良いだけなので)、この因数分解は、ヒントが無ければ導けませんでした。特に不等式の証明に限らず、多項式をうまく因数分解するための工夫やアイディアというのはあるのでしょうか。例えば、2倍したのを1/2で表すみたいな工夫をするきっかけというか…

アドバイスお願い致します。

投稿日時 - 2011-08-17 21:42:31

QNo.6949396

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

条件の文字が「正」とか「>0」といった場合・・・

式の変形をしつつ、相加相乗平均の関係を常に意識するといいですよ^^。

今回のこの問題も「相加相乗平均の関係」を使うと、割とあっさりと証明できてしまいます^^。

問題自体は、解決済みらしいので・・・少し上の解き方で挑戦してみてはいかがでしょうか。

「ab>0, cd>0なので、相加相乗平均の関係から
 (ab+cd)/2≧√(ab・cd)  (1)

↑これと同じようにして、ac>0, bd>0なので、相加相乗平均の関係式を作ってみてください。
(その式を(2)とします)

(1)×(2)・・・とすると^^A、もうお分かり頂けたと思います。

投稿日時 - 2011-08-17 23:32:54

お礼

おぉ! 同じになりました!
和と積、二次式で言えば一次の項と定数項の様に捉えてそれぞれ因数分解すれば良いというわけですか……?

そういえば、相加平均と相乗平均は共通因数の和と積の関係に似ていますね

投稿日時 - 2011-08-18 09:25:38

ANo.1

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回答(2)

ANo.2

このケースでは、-(マイナス)の付いた項を( )^2の形に変形して、全ての項が非負となるように式を変形すれば良いです。
ただこれだけの単純なことです。この主の問題を沢山解けば要領が分かってくるかと思います。

投稿日時 - 2011-08-18 13:00:24

お礼

二数の差を二乗の形=因数分解した形にすれば、(実数)^2≧0より、命題は成り立つ、ということですね。

回答ありがとうございました

投稿日時 - 2011-08-18 16:34:22