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解決済みの質問

空間ベクトルの質問です

一辺が長さ1の立方体ABCD-EFGHにおいて、ベクトルAB,ベクトルAD、ベクトルAEをそれぞれ、ベクトルa、ベクトルb、ベクトルcとする。線分CFを2:1に内分する点をP、線分APをt:(1-t)に内分する点をQとする。ただし、0<t<1。

(1)ベクトルAP、ベクトルCQをベクトルa、ベクトルb、ベクトルcを用いて表せ。


(2)AP⊥CQとなるときtの値。




解き方の導入からわかりません。よろしくお願いします。

投稿日時 - 2011-08-24 02:39:28

QNo.6963599

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質問者が選んだベストアンサー

こんにちは。

立方体なので、あちこちに同じベクトルがあります。

まず、
AB、CD、EF、HGは平行で長さも等しいので、
a→ = AB→ = DC→ = EF→ = HG→ ・・・(あ)
同様に、
b→ = AE→ = BF→ = CG→ = DH→ ・・・(い)
c→ = AD→ = BC→ = EH→ = FG→ ・・・(う)

(1)
まず、AP→ です。
Aを基点(原点Oと考えてください)とした位置ベクトルを考えると、
AP→ = AC→ + CP→
 = AC→ + 2/3・CF→ ・・・★CP→はCF→を2/3:1/3に分けたうちの2/3の方だから
 = (AB→ + BC→) + 2/3(CB→ + BF→)
ですよね。
(AからBに寄ってCにゴールするのはAB→、CからBに寄ってFにゴールするのはCF→)

ここで、(あ)、(い)、(う)より
AP→ = (a→ + c→) + 2/3(-c→ + b→)
 = a→ + 2/3・b→ + 1/3・c→ (こたえ)・・・(え)

次に、CQ→ です。
まず、
AC→ = AB→ + BC→
 = a→ + b→ ・・・(お)
です。
次に、Aを基点に考えて、APを t:(1-t) に内分するのが点Qなので、
AQ→ = t/{t+(1-t)}AP→
 = tAP→
(え)を代入して
 = t(a→ + 2/3・b→ + 1/3・c→)
以上のことから
CQ→ = AQ→ - AC→
 = t(a→ + 2/3・b→ + 1/3・c→) - (a→ + b→)
 = (t-1)a→ + (2t/3-1)b→ + t/3・c→
(こたえ)

(2)
AP⊥CQ ということは、内積 AP→・CQ→ がゼロということです。

まず、a→、b→、c→ の3つは、すべて同じ長さで、かつ、互いに垂直です。
ですから、
a→=(r,0,0)、b→=(0,r,0)、c→=(0,0,r)
というふうに成分表示することができます。(rは立方体の辺の長さ)
つまり、
AP→ = a→ + 2/3・b→ + 1/3・c→
 = (r,0,0) + 2/3(0,r,0) + 1/3(0,0,r)
 = (r, 2/3・r, 1/3・r)
であり、
CQ→ = (t-1)a→ + (2t/3-1)b→ + t/3・c→
 = (t-1)(r,0,0) + (2t/3-1)(0,r,0) + t/3(0,0,r)
 = (r(t-1), r(2t/3-1), r(t/3))

内積は、X成分どうし、Y成分どうし、Z成分どうしを掛け算したものを足せばよいので、
AP→・CQ→ = r^2(t-1) + r^2・2/3・(2t/3-1) + r^2・1/3・t/3
 = 9r^2{ 9(t-1) + 2(2t-3) + t }

AP⊥CQ のためには、内積がゼロになればよいので、
9r^2{ 9(t-1) + 2(2t-3) + t } = 0
9(t-1) + 2(2t-3) + t = 0
9t - 9 + 4t - 6 + t = 0
14t - 15 = 0
t = 15/14 (こたえ)

私は計算ミスが多いので、検算してください。

投稿日時 - 2011-08-24 04:41:14

お礼

とても助かります。

ありがとごさいました。

投稿日時 - 2011-08-24 04:54:48

ANo.1

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