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数学A二項定理

Nを自然数として、xy平面上の点A(n,n)と原点Oを結ぶ線分を対角線とする正方形の周上または内部に、座標が整数であるような異なる2点P,Qをとるとき、次の問いに答えよ。(1)線分PQのとり方は何通りあるか。(2)線分PQが座標軸上にあるか、または座標軸に平行となるとり方は何通りあるか。(3)線分PQの長さが(ルート2)となるようなとり方は何通りあるか。(4)線分PQが対角線OAと共有点をもつようなとり方は何通りあるか。
答え;(1)(n+1)^2C2=n(n+1)^2(n+2) /2とおり  (2)2×n+1C2×(n+1)=n(n+1)^2とおり(3)2n^2とおり (4)n(n+1)(n+2)(n+3)/4とおり

投稿日時 - 2011-08-27 07:42:20

QNo.6970417

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質問者が選んだベストアンサー

(1)
正方形の中の座標が整数の点の数は、(n+1)^2個
その中から2個の点が決まれば線分が確定するので、
(n+1)^2C2=(n+1)^2((n+1)^2-1)/2=n(n+1)^2(n+2)/2

#1さんは、線分PQと線分QPが同じかどうかという疑問を書いていますが、
線分とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、方向性を持っているわけじゃないので、線分PQ=線分QPとしてかまいません。

(2)
x軸上の線分の数は、n+1個から2個選べばいいから、
(n+1)C2
x軸に平行な直線の数はn+1本あり、y軸についても同様なので、
(n+1)C2×(n+1)×2=n(n+1)^2/4

(3)
点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)でできる一番小さい四角形の2本の対角線は長さ√2の線分です。
逆に、√2の線分が決まれば、それを対角線とする同じ大きさの四角形が1つ決まります。
正方形の中には小さい四角形がn^2個あるので、
2n^2

(4)
線分PQが対角線OAと共有点を持たないのは、点P,Qとも対角線OAで分けられた部分の片方の側に有る場合です。
対角線OA上の点はn+1個なので、対角線より左上にある点の数は、
{(n+1)^2-(n+1)}/2=n(n+1)/2
その中の線分の数は、
(n(n+1)/2)C2=(n(n+1)/2)(n(n+1)/2-1)/2=n(n+1)(n+2)(n-1)/8
右下も同様なので、対角線OAと共有点をもつ線分の数は、
n(n+1)^2(n+2)/2-(n(n+1)(n+2)(n-1)/8)×2=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

投稿日時 - 2011-08-27 14:44:46

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

(1)
「線分PQのとり方」として
P(m,n)とQ(p,q)が異なる点の時、問題文からは
「P(m,n)とQ(p,q)を結ぶ線分」と「P(p,q)とQ(m,n)を結ぶ線分」を異なる線分とみなす
と取れます。
そうすると(1)の答えは
((n+1)^2)C1・((n+1)^2-1)C1=((n+1)^2)・((n+1)^2-1)=((n+1)^2)・n(n+2) 通り…(☆)
となります。

>答え;(1)(n+1)^2C2=n(n+1)^2(n+2) /2とおり
の2倍になります。

お書きの答えは
P(m,n)とQ(p,q)が異なる点の時、
「P(m,n)とQ(p,q)を結ぶ線分」と「P(p,q)とQ(m,n)を結ぶ線分」を同じ線分とみなして
カウントした場合の答えになります。つまり、同じ線分とみなすため通り数は2通りの重複分を1通りとみなすため(☆)の通り数を2で割った通り数ということです。
任意の異なる点を結ぶ線分のとり方(両端にP,Qの記号がついていない線分のとり方)であれば2重カウントしていけませんから「お書きの答え」になります。

問題文の書き方が、上のカウントの仕方を区別できるような書き方を工夫しないと、問題があやふやになって、適切ではないですね。

上記のあやふやさは、問(2),(3),(4)についてもあてはまります。

答えから問題の答えを作成した人は、
異なる2点A,Bを
「P(A),Q(B)とした場合の線分PQ」

「P(B),Q(A)とした場合の線分PQ」
を同じ線分と考えて答えを導出していますが、
問題文からは異なる線分として扱い2通りとカウントする書き方と受け取れます。
(同じ線分とみなすという条件が書かれていないため)

質問者さんは、このあやふやさのある問題文をどう考えですか?
ここらをはっきりさせて下さい。

投稿日時 - 2011-08-27 10:48:18

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