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解決済みの質問

三角関数

関数
y=sinθ+cosθ-2sinθcosθについて

(1)t=sinθ+cosθ とするとき、tの値の範囲を求めよ。

(2)sinθcosθを(1)のtを用いて表せ。

(3)関数yの最大値と最小値を求めよ。


テスト範囲なのですが
授業では解説されなかった問題ですので答えが分かりません。

解説をしていただけないでしょうか?

投稿日時 - 2011-09-24 09:44:42

QNo.7030907

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

(1)
三角関数の合成の公式を使って
 t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+(π/4))
-1≦sin(θ+(π/4))≦1なので
 -√2≦t≦√2 …(A)

(2)
 t=sinθ+cosθ
 t^2=(sinθ+cosθ)^2=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ
したがって
 sinθcosθ=(t^2 -1)/2

(3)
 y=sinθ+cosθ-2sinθcosθ
 y=t-(t^2-1)=-(t-(1/2))^2 +(5/4)

(1)の(A)より -√2≦t≦√2 なので

t=1/2でyの最大値=(5/4)
t=-√2でyの最小値=(5/4)-(-√2-(1/2))^2=(5/4)-(2+(1/4)+√2)=-(1+√2)
となります。

投稿日時 - 2011-09-24 11:18:04

お礼

分かりました!
解説ありがとうございます。

自力で解けるよう頑張ります
(^-^)

投稿日時 - 2011-09-24 12:37:09

ANo.1

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回答(2)

ANo.2

(1) 三角関数の合成の公式を用いて、sinθ+cosθ=(√2)sin(θ+(π/4)) と式変形する。
  答 -√2≦t≦√2

(2) t=sinθ+cosθの両辺を2乗して、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を用いる。
  答 sinθcosθ=(t^2-1)/2

(3) (1)と(2)より、yはtの二次関数になります。(答は省略します)

投稿日時 - 2011-09-24 11:22:06

お礼

分かりました!
解説ありがとうございます。

自力で解けるよう頑張ります
(^-^)

投稿日時 - 2011-09-24 12:37:43