こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

f(x)=0はxで微分可能か

松坂さんの『線形代数入門』という本で
p84例3.17に
全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な実数関数全体の集合をVとすれば、VはR上のベクトル空間である。というものがあります。

そこで、全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な実数関数の例として
sintやcost、e^tなどがあがりますが、その全体の集合VがRベクトル空間であるならば、それは0を要素としてもたなければいけません。だとすると、全ての実数tに対して定義された無限回微分可能な関数としてf(t)=0も入るとしなければおかしい気がします。

また微分の定義から、f'(t)=lim(h→0){f(t+h)-f(t)}/hで
0を微分したら0という結果が得られます。

また0が無限回微分可能であるとすると、全ての実数係数の多項式は無限回微分可能ということになります。

このように考えたら0は微分可能であると考えられるのですが、正しいのでしょうか?

投稿日時 - 2011-10-04 00:10:00

QNo.7050362

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

はい。f(x)=0を初め、全ての定数関数、全ての実係数多項式関数は無限回微分可能です。
実のところ、これらを含め質問の例に挙げられた三角関数や指数関数などは全て解析関数(実解析関数)という無限回微分可能な関数より狭いカテゴリーに属します。
# (参考)解析関数: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E9%96%A2%E6%95%B0

投稿日時 - 2011-10-04 08:48:31

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

投稿日時 - 2011-10-05 16:56:46

ANo.2

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(3)

わかりやすい例としてsintやcost、e^tを出してるだけで
f(t)=0がその例の中に入らないとは言っていない。

投稿日時 - 2011-10-04 12:48:45

補足

例は本に書いてたのではなくて、自分であげたものです。
わかりにくくてすみません

投稿日時 - 2011-10-04 16:59:15

ANo.1

「このように考えたら」がどのようなのかよくわかりませんが, 単純に「定義から微分可能」で OK.

投稿日時 - 2011-10-04 00:15:04

お礼

回答ありがとうございます。定義からでOKでしたか。

投稿日時 - 2011-10-04 16:58:28