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高校数学です。 「△ABCにおいて、~」

高校数学です。
「△ABCにおいて、BC = a, CA = b, AB = c, ∠ABC = θ, ∠ACB = φ, ただし φ>θ とする。
このとき、以下の文章の(あ)~(さ)にあてはまる式や値を答えよ。
なお、あてはまる式や値は最後尾の選択肢から選べ。

a = b (あ) + c (い) と a / (う) = b / sinθ= c / sinφ より、(え) は θ, φ の正弦および余弦を用いて表すことができて、(お) となる。
次に、∠BCD = θ となるように点DをAB上にとり、AD = d とおく。
このとき、( c - d ) (か) = a / 2 が成立する。
d について解くと、d = c - a / 2 (き) となる。
また、sin (φ-θ) = { d / ( c - d ) } (け) であるから、これに上の d を代入して計算すると、sin (φ-θ) = 2 (こ) - (さ) となる。
そこで前半で得られた結果を使うと、sin (φ-θ) もやはり θ, φ の正弦および余弦を用いて表すことができて sinφcosθ - cosφ sinθ となる。
【選択肢】
・sinθ
・cosθ
・sinφ
・cosφ
・sin ( θ+φ )
・sinθcosφ + cosθsinφ
・cosθsinφ
・sinθsinφ
・sinθcosφ
・cosθcosφ 」

この問題がわかりません。
どなたか、解と解法を教えていただけないでしょうか。

なお、当方、数IAの知識までしかない状況です。

よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-02-09 01:43:37

QNo.7294383

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質問者が選んだベストアンサー

「△ABCにおいて、BC = a, CA = b, AB = c, ∠ABC = θ, ∠ACB = φ, ただし φ>θ とする。
このとき、以下の文章の(あ)~(さ)にあてはまる式や値を答えよ。
なお、あてはまる式や値は最後尾の選択肢から選べ。

>a = b (あ) + c (い)…(1) と a / (う) = b / sinθ= c / sinφ ……(2)より、
>(え) は θ, φ の正弦および余弦を用いて表すことができて、(お) となる。
公式にあります。
a= b cosC+ c cosB =b (cosφ) + c (cosθ) ……(あ)(い)
sinA=sin (π-(θ+φ))= sin ( θ+φ )……(う)
(え)sin ( θ+φ ) (お)sinθcosφ + cosθsinφ
(1)(2)より、式変形していくといいです。
(2)から、
sin ( θ+φ )=(a/b)sinθ ……(3)
sin ( θ+φ )=(a/c)sinφ ……(4)
bsinφ=csinθ ……(5)
と(1)をどこかに使います。

>次に、∠BCD = θ となるように点DをAB上にとり、AD = d とおく。
>このとき、( c - d ) (か) = a / 2 が成立する。
(か)cosθ
△DBCがDB=DC=c-dの二等辺三角形になる。
DからBCにおろした垂線の足をHとすると、DHはBCを二等分するから、
BH=(c-d)cosθ=a/2

>d について解くと、d = c - a / 2 (き) となる。
また、sin (φ-θ) = { d / ( c - d ) } (け) であるから、これに上の d を代入して計算すると、>sin (φ-θ) = 2 (こ) - (さ) となる。
(き)cosθ (け)sin ( θ+φ ) (こ)cosθsinφ (さ)sin ( θ+φ )
正弦定理より、d/sin ( θ+φ )=(c-d)/sin (φ-θ) を式変形していく。

>そこで前半で得られた結果を使うと、sin (φ-θ) もやはり θ, φ の正弦および余弦を用いて表すこと>ができて sinφcosθ - cosφ sinθ となる。

実際に計算して答えが合うかどうか確認してみて下さい。

投稿日時 - 2012-02-09 06:03:40

お礼

答えが合いました!
(途中、「式変形」がうまくできず、苦労しましたが、できてみればなんてこはないものだったんですね。)

ありがとうございました。
助かりました!
(お礼が遅くなり、すみません。)

投稿日時 - 2012-02-20 23:19:25

ANo.1

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回答(2)

ANo.2

訂正があります。済みません。
>正弦定理より、d/sin ( θ+φ )=(c-d)/sin (φ-θ) を式変形していく。

△ACDで正弦定理より、d/sin (φ-θ)=(c-d)/sin ( θ+φ ) を式変形していく。

です。

投稿日時 - 2012-02-09 06:42:45