こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

二次関数  範囲

問題は
二次関数y=f(x)=ax^2-(a+1)x+2a+2(a>0)があり、二次関数方程式f(x)=0の相異なる2実数解α、βが次の条件を満たすとき、αのとり得る範囲を求めます

(1)α<4<β

どうして、f(4)=14a-2<0
なのでしょうか?
答えは0<a<1/7
(2)2<α<3<β

どうして、f(2)=4a>0
f(3)=8a-1<0になるのでしょうか?

答えは0<a<1/8

これはどのように求めるのかわかりません。

お願いします

投稿日時 - 2003-12-14 21:26:07

QNo.730230

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>(2)
がわかりません。
図を書いてかんがえたのですがわかりません

そうですか、しからばy=f(x)のグラフの復習からはじめましょうか。さて、
 y=ax^2-(a+1)x+2a+2 (a>0) (1)
で、a>0ですからこのグラフは下に凸の放物線となりますね。α、βの2つの実根をもちますからこのグラフはx軸の2点を通ることになりますね。この2点とはxの値の小さいほうからいうとx=α,x=βの2点(α<β)ということになります。ここまでいいですか。今、y=f(x)のグラフは図がここではうまく書けないのでアレですが、イメージ的にはには下図のようになりますね。

  y軸
  |  \   3     /
  |   \  ↓    /
 ---------\---------/-----x軸
  |  ↑  \   /
      2   \ /
そうすると絵より
 f(2)=a・2^2-(a+1)・2+2a+2=4a>0 (2)
 f(3)=a・3^2-(a+1)・3+2a+2=8a-1<0 (3)
となりますね。(2)より
 a>0  (4)
(3)より
 a<1/8 (5)
従って求めるaの範囲は(4)(5)より
 0<a<1/8
となります。  

参考URL: 

投稿日時 - 2003-12-15 22:45:57

ANo.2

このQ&Aは役に立ちましたか?

1人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(2)

ANo.1

関数y=f(x)はa>0より下に凸の放物線となりますね。いま、
f(x)=ax^2-(a+1)x+2a+2 (a>0) が相異なる2実根α、βを持つためには判別式D>0でなければなりません。
 D=(a+1)^2-4a(2a+2)=-(7a-1)(a+1)>0 (1)
これからaの範囲を求めると
 -1<a<1/7  (2)
となりますね。ところでa>0ですから、結局aの範囲は
 0<a<1/7  (3) 
2実根α、βはα<4<βの関係にありますから、下に凸の放物線はx軸とx=α,βの2点を通りますね。x=4はこの間にあるわけですから
 f(4)=14a-2<0 (4)
となりますね。これは図を書くとすぐ分かります。(4)からa<1/7が求まりますが、これは(3)を満たしていますね。

問題2は問題1と同じようにして絵を書いて考えればすぐ分かると思います。TRYしてみてください。

投稿日時 - 2003-12-14 21:56:55

補足

(2)
がわかりません。
図を書いてかんがえたのですがわかりません

お願いします

投稿日時 - 2003-12-15 21:53:10

あなたにオススメの質問