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極限値の問題

lim(x→1){(x^2+ax+b)/(x-1)}=3を満たす定数a,bを求めよ

という問題なんですが
lim(x→1)(x-1)=0であるから
lim(x→1)(x^2+ax+b)=0
解答にはこのように始まっているのですが
この命題の解釈を
「xは1になるのでそれだと分母が0になってしまい、0での除法は数学的にありえないので
分子も0になるしかない」
とこんな感じに僕なりにしてみたんですがあっているでしょうか?

それと
微分の問題をある程度やっていて、それなりに解けるようになってきたんですが
未だに極限値というのが微妙な理解です、テキストを読んでも難しい言葉で書かれており、何がなにやらというのが本音です。

今僕が考えている極限値というのは、3次関数のグラフを書いた時に出来る山のような曲線というちょっとわけのわからない理解なんですが
極限値とはなんなのかという簡単な解説をよろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-03-17 07:20:23

QNo.7366676

困ってます

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回答(14)

ANo.15

高校生の質問なのだから、高校生に理解できる回答が原則です。

(1) lim[x → a] f(x)/g(x) = b (有限確定値) かつ lim[x → a] g(x) = 0 のとき、lim[x → a] f(x) = 0
(2) lim[x → a] p(x) = c, lim[x → a] q(x) = d のとき、lim[x → a] p(x)q(x) = cd

(2) を証明することは、慣れていないと難しい。
また、(2) を用いずに (1) を証明するのも、けっこう厄介。
しかし、高校生には (2) のみ証明なしで用いてよいという、特権が与えられています。
それゆえ、No.3 の方法を用いることで、(1) は高校生でも証明できます(高校生の場合、それ以外の方法で証明するのはおそらく無理)。
だから、No.3 の方法は、何年も前から高校数学の参考書では必ず紹介されています。

> lim(x→1)(x-1)=0であるから
> lim(x→1)(x^2+ax+b)=0
> 解答にはこのように始まっているのですが
「であるから」という簡単な言葉で2行目につなげていますが、実際にはけっこう行間があることが、お分かりになったと思います。

> この命題の解釈を
> 「xは1になるのでそれだと分母が0になってしまい、0での除法は数学的にありえないので
> 分子も0になるしかない」
> とこんな感じに僕なりにしてみたんですがあっているでしょうか?
残念ながら、あっていません。
まず、「x は 1 になるので」という部分が、決定的な間違いです。
「x → 1」の意味について、高校の教科書には、「x が 1 と異なる値を取りながら 1 に限りなく近づく(とき)」と説明されているはずです。
よって、x は決して 1 にはなりません。
それゆえ、分母の (x - 1) も決して 0 にはなりません。
もし分母が本当に 0 になってしまったら、あなたが書いているように、数学的にあり得ないことです。
分母が 0 に等しいなどという滅茶苦茶なことが起きれば、分子が 0 であっても 0 でなくても、どっちみち救われないのです。

lim[x → 1] (x - 1) = 0 という式の意味を、正しく理解してください。
x は 1 に限りなく近づくが、決して 1 に等しくはならない。
よって、(x - 1) は 0 に限りなく近づくが、決して 0 に等しくはならない。
極限値というのは、(x - 1) が最終的にたどり着く値のことではなく、(x - 1) が近づいていく目的地のことです。
lim[x → a] f(x) = b とかいた場合、
・ x は a に近づくけれど、決して a に等しくはならない。
・ f(x) のほうは、x が a に十分近づいたとき、目的地である b にたどり着いてしまっても構わない。もちろん、今回の (x - 1) のように、(いつまで経っても 0 という目的地に)たどり着かなくても構わない。

> 未だに極限値というのが微妙な理解です、
めでたく大学に合格してから、御自分で本を読んで勉強すれば、すっきり解決するでしょう。
あまりお勧めはできませんが、もしあなたが数学科に入学すれば、強制的に理解させられることになり、「微妙な理解」では微積分の単位を取得するのは無理です。

投稿日時 - 2012-03-22 23:56:06

ANo.14

>無意識に高校生は使っているんだけど。。。  確かに、我々には、わかりやすいのですが、はたして、どうでしょうか?

むしろ背理法のほうが分かりにくいし
実際,あなたも本質的ではないところで
減点対象となりかねない記述をしてしまってるわけですし,
そこを回避するのにわざわざ絶対値を
持ち出さないといけないことにもなってますよね.

絶対値を持ち込むことは
εδとかを知ってる我々にとっては
王道ですけど、果たして高校生にとってはどうか?

もちろん,極限で頻出する手法(なんでも絶対値をとって不等式評価する)を示す
導入にはなるけど,この段階で言及するものではないと思います.

極限の積に持ち込むのは
a = (a/b) * b
という
「ほしいものを引っ張りだしたら,あとで帳尻を合わせる」
という,平方完成や因数分解ですでに頻出している手法が
極限でも有効であることを示すこともでき
有用だと思いますが?
それに「分かってしまえば簡単」だというわけです.

投稿日時 - 2012-03-18 12:38:02

ANo.13

極限値の性質 lim[x→a]f(x)=α,lim[x→a]g(x)=βのとき
lim[x→a]f(x)g(x)=αβを利用する。両辺に(x-1)を掛けて
lim(x→1){(x^2+ax+b)/(x-1)}×(x-1)=3×0
lim(x→1){x^2+ax+b}=0
1+a+b=0 b=-a-1 これを与式に代入して
lim(x→1){(x^2+ax-a-1)/(x-1)}=3
lim(x→1){(x+1)(x-1)+a(x-1)/(x-1)}=3
lim(x→1){(x-1)(x+1+a)/(x-1)}=3
lim(x→1)(x+1+a)=3
2+a=3 a=1 b=-2
これらを与式に代入すると(十分条件の確認)
 lim(x→1){(x^2+x-2)/(x-1)}
=lim(x→1){(x+2)(x-1)/(x-1)}
=lim(x→1)(x+2)=1+2=3
よって a=1,b=-2

投稿日時 - 2012-03-17 22:48:42

ANo.12

ところで

lim[x→1] x と  lim[x→1] x+1

は わかりますか?

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
以下は理解できなくていいです。

>No.9

>回答者:kabaokaba 回答日時:2012/03/17 12:20
>ちなみに
>No.2
>lim(x→1){(x^2+ax+b)/(x-1) は無限大に発散する。従って3に収束しない。

>これも間違っている

確かに! 絶対値とるべきだった。 (ただ、複素だと ∞だけなのに 二つあるのは、なんか変な気もする。本当にふたついるのかな?)

>no.11
>lim[x→1](xx+ax+b) = 3・0 が簡単かなと。

でもないとおもいます 使った定理は、極限値の意味がちゃんと理解できてないと、難しいと思います。
もちろん、無意識に高校生は使っているんだけど。。。  確かに、我々には、わかりやすいのですが、はたして、どうでしょうか?

投稿日時 - 2012-03-17 17:04:26

ANo.11

だからこそ、
lim[x→1](xx+ax+b) = 3・0 が簡単かなと。
理由は、No.3

投稿日時 - 2012-03-17 14:52:54

ANo.10

> ∞に発散するとは限らない

lim[x→1](xx+ax+b) = 0 でない場合は、
lim[x→1](xx+ax+b)/(x-1) が収束しない
ことだけは確かだから、
背理法はちゃんと成立するんだけどね。
不用意な書き方をすると、答案でも
そこを減点されることがあるから、やはり
lim[x→1](xx+ax+b) = 3・0 が簡単かなと。

投稿日時 - 2012-03-17 14:08:04

補足

あのごめんなさい;
僕の理解の範疇を超えた議論になってますね。。
一応No,3さんとNo,1さん、No,7さんの書いていることはなんとなくわかるんですが・・

数IIIの範囲はあまり得意じゃないので、もう少し簡単に言ってもらうことはできませんか?><

投稿日時 - 2012-03-17 14:23:04

ANo.9

ちなみに
No.2
>lim(x→1){(x^2+ax+b)/(x-1) は無限大に発散する。従って3に収束しない。

これも間違っている.∞に発散するとは限らない(少なくとも自明ではない).
単に「収束しない」ということになるだけ.
実際,x->1-0とすれば「負の∞」に発散する「かも」しれないし,
x=1+(-1)^n/n みたいな動かし方をすれば振動する「かも」しれない.

一番すっきりするのは

lim(x^2+ax+b) = lim (x-1) lim( (x^2+ax+b)/(x-1) )
= 0 * 3
=0

でしょう.

>今僕が考えている極限値というのは、3次関数のグラフを書いた時に出来る山のような曲線というちょっとわけのわからない理解なんですが

たしかにわけがわからない.
何をどう考えればそんな複雑なことになるのかが分からない.
横着せずにまずは教科書を素直によむこと.

ぶっちゃけた話,極限ってのは「近づく」ということの
数学的な表現にすぎないわけで
曲線だの山だのは,極限の使い方にでてくるだけのもの.

投稿日時 - 2012-03-17 12:20:38

>No4

すいません、間違えました。 No.4 は無視してください

No.3 は 正しいです。

投稿日時 - 2012-03-17 12:10:19

ANo.7

No.4

いやいやいや・・・間違ってるのはあなたですってば

x->aのとき
lim g(x),lim f(x)/g(x)が有限確定であれば

lim f(x) = (lim g(x)) (lim f(x)/g(x))

なんだから,lim f(x)は有限確定.

今回は lim g(x) = 0 というだけの話であって
決して, lim g(x) で割り算してるわけではない.

投稿日時 - 2012-03-17 12:02:03

N0.2 の訂正

よって背理法により f(x)=0

ーー>

よって背理法により f(1)=0

投稿日時 - 2012-03-17 10:45:56

>No.3

>m[x→1]f(x) と lim[x→1]g(x) がどちらも収束するとき、
l>im[x→1]f(x)g(x) は収束して、その極限は
>= ( lim[x→1]f(x) )( lim[x→1]g(x) ) であることから、

まちがってます。  0では割れません

投稿日時 - 2012-03-17 10:15:27

ANo.3

よくある例題で、背理法で説明することが多いけれど、
もっとシンプルに、積の極限は極限の積であること、つまり、
lim[x→1]f(x) と lim[x→1]g(x) がどちらも収束するとき、
lim[x→1]f(x)g(x) は収束して、その極限は
= ( lim[x→1]f(x) )( lim[x→1]g(x) ) であることから、
f(x) = (xx+ax+b)/(x-1), g(x) = x-1 と置けばいいんじゃない?

投稿日時 - 2012-03-17 09:28:29

分子を f(x) とおきます

f(1)が0でないとする
lim(x→1){(x^2+ax+b)/(x-1) は無限大に発散する。従って3に収束しない。

よって背理法により f(x)=0

従って 0=f(1)=1+a+b

よって b=-a-1

f(x)=x~2+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)

(x^2+ax+b)/(x-1)=x+a+1

lim(x→1){(x^2+ax+b)/(x-1)}=lim(x→1) x+a+1 = 2+a

よって a+2=3  ゆえに a=1 b=-2

投稿日時 - 2012-03-17 08:40:36

ANo.1

私は、次のように考えます。邪道かもしれませんけれど。
lim(x→1)の極限値が3であるということは、分子はx+2を因数に持つ。
分母のx-1が分子にもあると、約分できてうれしい。
よって、分子は(x+2)(x-1)ではないか、と考える。
(x+2)(x-1)=x²+x-2
∴a=1,b=-2

>今僕が考えている極限値というのは、3次関数のグラフを書いた時に出来る山のような曲線

極大値や極小値とゴッチャになっていませんか?

投稿日時 - 2012-03-17 07:57:53

お礼

今極限と極限値に対して調べたらNo,1さんの言ってることが理解できました!
本当今まで基礎が全然ないまま、応用だけをいれていたのでようやく繋がったって感じがします!
色々な考え方があるものですね・・・

それはそうとなんですが
僕が書いていることは間違いではないんでしょうか?

よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-03-17 14:30:52

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