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解決済みの質問

a≪xのときの近似

a≪xのとき、
 (1) 1/(a^2+x^2)^(1/2) - 1/x
 (2) x/(a^2+x^2)^(3/2) - 1/(x^2)   はどのような値になるでしょうか?

考え方・計算方法も教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-04-03 21:17:16

QNo.7400760

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

 a≪xじゃどうにもなりません。条件は、|a|≪|x|の間違いでしょう。
 式の格好によっていろんな手が使われますが、しかし大抵の場合に通用する一つの定石はマクローリン展開です。
 まず、「xは定数、aが変数だと思う」んです。たとえば
  f(a) = 1/(a^2+x^2)^(1/2) - 1/x
のように。そして、これをaが小さい時に成立つ近似式で表してやる。
 マクローリン展開は
  f(a) = f(0) + (f'(0))(a^1)/(1!) + (f''(0))(a^2)/(2!) + (f'''(0))(a^3)/3!) + …
です(「!」は階乗)。
 上記のfをaで微分したものf'、2回微分したものf''、…を計算すると(「xは定数、aが変数だと思う」ことに注意して)
  f'(a) = -a / ((a^2+x^2)^(3/2))
  f''(a) =(2(a^2)-x^2) / ((a^2+x^2)^(5/2))
  f'''(a) = 3a(3(x^2)-2(a^2)) / ((a^2+x^2)^(7/2))
なので、
  f(0) = 1/|x|- 1/x
  f'(0) = 0
  f''(0) = -1/|x|^3
  f'''(0) = 0
であり、従ってこの場合にはマクローリン展開は
  f(a) = 1/|x| -(a^2)/(2(|x|^3)) + …
と書けます。右辺をどこまで続けるかは目的によりますが、普通はaの0次~2次の項ぐらいまでを使って、以降を捨て、それを「n次近似」と呼ぶ。この場合、f'(0) = 0だから0次近似と1次近似は同じで
  f(a) ≒ 1/|x|- 1/x
また、f'''(0) = 0だから2次近似と3次近似は同じで
  f(a) ≒ 1/|x| - 1/x -(a^2)/(2(|x|^3))
ということになります。

投稿日時 - 2012-04-04 06:27:45

お礼

ご回答ありがとうございました。
マクローリン展開の存在を忘れていました…。
丁寧な解説、とてもわかりやすかったです。

投稿日時 - 2012-04-04 16:34:04

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回答(5)

ANo.5

a でマクローリン展開するよりも、
No.2 のように t で展開したほうが良くない?
計算はほぼ同じだが、考え方としては。

投稿日時 - 2012-04-04 08:47:25

お礼

アドバイスありがとうございます。参考にさせていただきます。

投稿日時 - 2012-04-04 16:30:07

ANo.3

No2です。その回答に誤りがありました。
文中の2箇所の 1+px は誤りで、1+pt が正しいです。
なお、(1)(2)は (1+t)^p に変形できると書きましたが、
その時の t は、t<<1 を満たす量というものであり、
a/x もそうだし、(a/x)^2もそうです。

投稿日時 - 2012-04-03 23:11:51

お礼

そうですね。補足ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-04-04 16:40:00

ANo.2

こんばんは。

問題には、さらに 0<a の条件がありはしませんか?
もし、そうなら、 a/x << 1 ですから、a/x=t とおくと、t <<1 です。

ところで、t <<1 のとき、 pを正の実数(定数)とするとき、
 (1+t )^p は、1+px と近似できることは、習いましたか。
これは、(1+t )^p =f(t) とおく時、 f(t)を f(0)+f’(0)t で近似することを意味します。

あなたの問題の(1)も(2)も、 第1項は (1+t )^p という形に、変形できますから、
それを 1+px と近似すれば、答えが出ますよ。

投稿日時 - 2012-04-03 22:47:20

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘のとおり、a>0です。
参考にさせていただきます。

投稿日時 - 2012-04-04 16:36:56

ANo.1

両方ともa=0とするとどうなりますか?
aはxに比べて非常に小さいのです。

投稿日時 - 2012-04-03 21:52:07

お礼

ご回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-04-04 16:27:23

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