こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

締切り済みの質問

数学

3次方程式
x^3+ax^2+ax+1=0(a:実数の定数)
が3つの実数解をもち、そのうちの2つの解の比が1:2であるとき、aの値およびそのときの解をすべて求めよ。


解けません。
お願いしますm(._.)m

投稿日時 - 2012-04-16 21:35:28

QNo.7424905

すぐに回答ほしいです

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(4)

x^3+ax^2+ax+1=(x+1)*{x^2-(1-a)x+1}=0

3次方程式の3つの解をα、2α、βとすると、解と係数から 3α+β=-a、2α^2+3αβ=a、2α^2*β=-1.
(1) α=-1の時 他の解は -2、βだから 2α^2*β=-1より β=-1/2. あとは3 α+β=-a を使うだけ。
(2) 2α=-1の時 他の解は -1/2、βだから 2α^2*β=-1より β=-2. あとは3 α+β=-a を使うだけ。
(3) β=-1の時 他の解は α、2αだから α+2α=1-a、2α^2*β=-2α^2=-1 を使うだけ。

投稿日時 - 2012-04-17 11:16:46

>x^3+ax^2+ax+1=0

これは因数分解できて、1つの解が -1になるから、そこから場合わけしても良いんだが 少し面倒だろう。。。。

3次方程式の3つの解をα、2α、βとすると、解と係数から 3α+β=-a、2α^2+3αβ=a、2α^2*β=-1.
前の2つから 2α^2+3αβ+3α+β=0. これに2α^2*β=-1を代入して(βを消すと)次の方程式になる。
4α^4+6α^3-3α-1=(2α+1)*(α+1)*(2α^2-1)=0.
αの値が出れば、2α^2*β=-1からβの値も出る。そうすれば、3α+β=-aから aの値も出る。

投稿日時 - 2012-04-17 10:34:04

ANo.2

 x^3+ax^2+ax+1=0 ...(1)
条件より3実解をp,2p,qとおけば(1)は
 (x-p)(x-2p)(x-q)=0 ...(2)
と書ける。
(1),(2)から
 x^3+ax^2+ax+1=(x-p)(x-2p)(x-q)
は恒等的に成り立つから
各次の係数はそれぞれ等しいので
 3p+q=-a ...(3)
 2p^2 +3pq=a ...(4)
 2qp^2+1=0  ...(5)
この連立方程式を解けば良い。

(3),(4),(5)からa,qを消去すると
 (p+1)(2p+1)(2p^2-1)=0
 p=-1,-1/2,±1/√2

(3),(5)に代入してa,qを求めると
 (a,p,q)=(7/2,-1,-1/2),(7/2,-1/2,-2),
    ((2-3√2)/2,1/√2,-1),((2+3√2)/2,-1/√2,-1)
以上から
 a=7/2の時 3実数解:(-1,-2,-1/2),(-1/2,-1,-2)
 a=(2-3√2)/2の時 3実数解:(1/√2,√2,-1)
 a=(2+3√2)/2の時 3実数解:(-1/√2,-√2,-1)

[ポイント]地道に連立方程式を解く計算能力を身につけるようにして下さい。
それが問題が解ける、解けないの別れ道になります。受験だと合否を左右します。
丸写ししないでちゃんと計算してみることが大切!です。

投稿日時 - 2012-04-17 03:37:06

ANo.1

三つの解のうち比が1:2である二つはpおよび2pと表わされます。また、もうひとつの解をqとすると、元の方程式は
(x-p)(x-2p)(x-q)=0 ・・・(1)
と表わせるので、-2p^2*q=1 であり、よって
q=-1/2p^2
です。これを(1)に代入し、展開して二次の係数=一次の係数 とおくとpの方程式になるのでそれを解けばいいと思います。

-3p+1/2p^2=2p^2-3/2p
両辺に2p^2を掛けて
-6p^3+1=4p^4-3
4p^4+6p^3-3p-1=0
(p+1)(2p+1)(2p^2-1)=0
これでpの値が判ります。

投稿日時 - 2012-04-16 23:02:17

あなたにオススメの質問