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高校数学 空間ベクトルについてです!!

1辺の長さが2の正四面体OABCにおいて
OAを1:2に内分する点をL
BCの中点をMとする。
OAベクトル=Aベクトル、OBベクトル=Bベクトル、OCベクトル=Cベクトルとする。

(問)LM上の点Pに対して、OPとABが垂直である時、
OPベクトルは、A・B・Cベクトルを使うとどのようにあらわせられるか。

さっぱりわかりません><
どのように考えたらできるのか、初歩的なところから教えていただけたら幸いです。

投稿日時 - 2012-04-21 21:58:29

QNo.7433912

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回答(4)

ANo.4

#3です。

A#3の添付図を付け忘れましたので添付します。
正4面体OABCの補助線や補助線と辺との交点の記号を書き込んでありますので
A#3の解答とあわせてご覧下さい。

なお、A#3ではベクトルを A↑、AB↑のように後ろに上向き↑(矢印)をつけて表しています。本来はAやABの上に右向きに矢印(→)を書きます。平文活字文章では書けませんので上記の書き方をしました。

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投稿日時 - 2012-04-22 09:32:43

ANo.3

Oから底面ABCに下ろした垂線OHの足をHとすると
OH↑⊥AB↑、またOP↑⊥AB↑なのでPはOH上にある。
従って、

OP↑=pOA↑+qOB↑+rOC↑
△OAHに直線LMが交わっているので、これにメネラウスの定理を適用すると
(OL/LA)(AM/MH)(HP/PO)=1
(1/2)(3/1)(PH/OP)=1
∴PH/OP=2/3
OP↑=(3/5)OH↑
 =(3/5)(OA↑+AH↑)
 =(3/5)(OA↑+(2/3)AM↑) (∵Hは正三角形△ABCの重心)
 =(3/5)OA↑+(2/5)AM↑
 =(3/5)OA↑+(2/5)(OM↑-OA↑)
 =(1/5)OA↑+(2/5)OM↑
 =(1/5)OA↑+(2/5)(1/2)(OB↑+OC↑)
 =(1/5)OA↑+(1/5)OB↑+(1/5)OC↑
 =(A↑+B↑+C↑)/5

投稿日時 - 2012-04-22 09:02:22

ANo.2

1辺の長さが2の正四面体OABCにおいて
OAを1:2に内分する点をL
BCの中点をMとする。
>OAベクトル=Aベクトル、OBベクトル=Bベクトル、OCベクトル=Cベクトルとする。
→はないですが、ベクトルと言うことでお願いします。
|a|=|b|=|c|=2,(a,b)=|a||b|cos60度=2×2×(1/2)=2
同じように(b,c)=(c,a)=2
OL=(1/3)OA=(1/3)a
BM=(1/2)BCより、OM-OB=(1/2)(OC-OB)だから、
OM=(1/2)OB+(1/2)OC=(1/2)b+(1/2)c

>(問)LM上の点Pに対して、OPとABが垂直である時、
>OPベクトルは、A・B・Cベクトルを使うとどのようにあらわせられるか。
LP:PM=t:(1-t)とすると、
(1-t)LP=tPM
(1-t)(OP-OL)=t(OM-OP)より、
OP=(1-t)OL+tOM
  =(1/3)(1-t)a+(1/2)tb+(1/2)tc ……(1)
AB=OB-OA=b-a
OPとABが垂直だから、(OP,AB)=0
(OP,AB)
={(1/3)(1-t)a+(1/2)tb+(1/2)tc}・(b-a)
=(1/3)(1-t)(a,b)+(1/2)t|b|^2+(1/2)t(c,b)
 -(1/3)(1-t)|a|^2-(1/2)t(a,b)-(1/2)t(c,a)
=(1/3)×2×(1-t)+(1/2)×4×t+(1/2)×2×t
 -(1/3)×4×(1-t)-(1/2)×2×t-(1/2)×2×t
=t-(1/3)×2(1-t)
=0
より、(5/3)t=2/3,t=2/5
(1)へ代入して、
OP=(1/5)a+(1/5)b+(1/5)c

でどうでしょうか?

投稿日時 - 2012-04-22 05:21:09

ANo.1

頭の中で状況を思い描いてください.

投稿日時 - 2012-04-21 23:32:31

補足

絵も描いて考えてみてます!
どのベクトルの法則をどのように使ったらいいか
思いつきません><
答えまで、導き方ふくめよろしくおねがいします。

投稿日時 - 2012-04-21 23:50:02

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