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解決済みの質問

数学 三角関数

関数 y=3cosθ+4sinθ (0≦θ≦π/2) について、

(1) yのとりうる値の範囲は□≦y≦□である。
(2) yが最大値をとるとき、sinθ=□、cosθ=□である。
(3) yが最大値をとるとき、z=3sin2θ+4cos2θの値は□である。

□の値を教えてください。
途中計算も欲しいです。
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-04-26 18:43:28

QNo.7442773

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質問者が選んだベストアンサー

(1)
三角関数の合成を行えばよい。

 y=3cosθ+4sinθ=5sin(θ+α),ただし cosα=4/5,sinα=3/5 ...(☆)
0≦θ≦π/2 より
 α≦θ+α≦α+π/2, 0<sinα=3/5<sin(α+π/2)=cosα=4/5より
 ∴5sinα=3≦y≦5 

(2)
yが最大値5をとるとき θ+α=π/2
 sinθ=sin(π/2-α)=cosα=4/5 (∵(☆)より)
 cosθ=cos(π/2-α)=sinα=3/5 (∵(☆)より)

(3)

yが最大値5をとるとき θ+α=π/2
 x=3sin(π-2α)+4cos(π-2α)
  =3sin(2α)-4cos(2α)
  =6sinαcosα-4(cosα-sinα)(cosα+sinα)
  =6(3/5)(4/5)-4((4/5)-(3/5))((4/5)+(3/5)) (∵(☆)より)
  = .... ←小学生の分数計算です。

投稿日時 - 2012-04-26 19:15:22

お礼

理解できました。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-04-28 22:47:39

ANo.1

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回答(4)

書き込みミス。


(誤)加法定理から sin2θ=2αβ、cos2θ=2α^2+1 から(2)を使えば 設問の3は直ぐ出る。

(正)加法定理から sin2θ=2αβ、cos2θ=2α^2-1 から(2)を使えば 設問の3は直ぐ出る。

投稿日時 - 2012-04-27 11:57:04

お礼

了解しました!

投稿日時 - 2012-04-28 22:49:41

0≦θ≦π/2 という条件が問題を面倒にしている。
いっそのこと、三角関数から離れた方が簡単にいく。

cosθ=α、sinθ=β とすると α^2+β^2=1、α≧0、β≧0 ‥‥(1)
この条件で y=3α+4βの最大値と最小値を考えると良い。(1)をαβ平面上に図示すると、原点を中心とする半径が1の円の第一象限の部分。
4β=-3α+y は傾きが -3/4 の直線だから
・最大値は この円と接するとき。直線と円の距離が円の半径の1に等しい時だから 点と直線との距離の公式から|y|/5=1 y>0は自明から 最大値は5
・最小値は 点(1、0)を通るとき つまり最小値は3 
以上から 3≦y≦5

y=5の時、5=3α+4βと(1)を連立すると α=3/5、β=4/5.‥‥(2)

加法定理から sin2θ=2αβ、cos2θ=2α^2+1 から(2)を使えば 設問の3は直ぐ出る。

投稿日時 - 2012-04-27 11:10:46

お礼

分かりやすくしてくださりありがとうございました。

投稿日時 - 2012-04-28 22:49:17

ANo.2

三角関数の合成とは、A cosθ + B sinθ (A,B は定数)
という形の式を、= R sin(θ+δ) または = R cos(θ+δ)
と変形することを言います。重要な基本手技であり、
非常によく使いますから、教科書か参考書で確認しておくこと。

そのような R,δ を求めるには、変形した後のほうの式を
加法定量で展開して、R sin(θ+δ) = (R sinδ)cosθ + (R cosδ)sinθ.
元の式と係数を比較して、A = R sinδ, B = R cosδ.
この式から、(sinδ)2乗 + (cosδ)2乗 = 1 を使って δ を消せば、
Rの2乗 = Aの2乗 + Bの2乗 が判ります。
この R を用いて、sinδ = A/R, cosδ = B/R とすれば、
そのような δ は 0 ≦ δ ≦ 2π の範囲に一個あることも解ります。
δ の具体的な値は、多くの問題で、最後まで判らないけれど、
δ が在ることと、sinδ, cosδ の値さえ判れば、
y = R sin(θ+δ) の式形で、問題を解くのに使えます。

今回質問の問題も、この変形ができてしまえば、後は
sin のグラフを見たことあるかどうかだけですね。

投稿日時 - 2012-04-26 21:36:48

お礼

公式頑張って覚えます。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-04-28 22:48:30