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解決済みの質問

4支点の反力の求め方

長方形の板(長辺Lx短辺M)の4隅を支持して、任意点(板の中央は除きます)に、
垂直集中荷重Wが作用します。
このとき長方形の板の4隅に生じる反力を求める方法を教えてください。
(板の重量は無視、板に生じる曲げモーメント、たわみなどは一切考えません。
ただ単純に、作用があれば、反作用があるだろうということだけです。)
4っつの方程式が必要かと思います。
1.Σ垂直方向の力=0
2.Σ原点まわりのモーメント=0  (荷重点を原点とします)
これで3っつの方程式は得ることができると思います。
あと一つの方程式はどうすれば宜しいのでしょうか。
それとも別の考え方をするのでしょうか。
宜しくお願いいたします。

投稿日時 - 2012-05-09 05:45:38

QNo.7465861

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質問者が選んだベストアンサー

 厳密に言うと、これは3次元での物体の釣り合い問題になるので、支点反力は3成分を持ち、3×4=12個の未知数を定める必要があります。一方釣り合い方程式は、

  1.Σ垂直方向,Σ水平縦方向,Σ水平横方向の力=0で、3つの式
  2.Σ原点まわりのモーメント=0 は、ベクトル方程式として正味3つの式

となり、12-6=6本の式が足りなくなります。

 しかし反力の水平8成分は明らかに0なので、これらを条件として追加すると、6+8=14個の条件式になり、今度は条件過多で解けなくなるように見えますが、水平8成分=0を追加すると、Σ水平縦方向の力=0,Σ水平横方向の力=0の2条件が、0=0で無意味になり、Σ原点まわりのモーメント=0の垂直成分も自明に0で、有効な条件が3個減ります。

 結局未知数12個に対して、14-3=11個の条件しかなく、あと一つ方程式が足りないというのが、この問題の正確な状況です。

 物体全体の釣り合い条件+付加条件で反力が決まらない問題を、不静定問題と言います。逆に静定問題の場合は、支点と着力点の位置と荷重が同じなら、板が(物体が)どんな形状であっても、どんな変形を起こそうと、反力は同じになります。

 不静定問題では、物体の形や、変形に対する材料定数を考慮して、つまり物体の変形挙動まで考慮して初めて、反力が決まります。このケースだとふつうは、変形挙動の計算のために、薄板の曲げ理論を使いますが、デザインデータブックなどには、その結果が、典型的な荷重状態については載っています。

投稿日時 - 2012-05-09 13:45:44

お礼

ddtddtddtさん、ありがとうございます。

投稿日時 - 2012-05-09 14:24:25

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回答(3)

 #2です。

>(板の重量は無視、板に生じる曲げモーメント、たわみなどは一切考えません。ただ単純に、作用があれば、反作用があるだろうということだけです。)

 ・・・という事でしたか。そうであっても、#2で述べたような手順は省略できないでしょう。この場合は、有限の板剛度Dで計算しておいて、D→∞とした極限解として得られます。

 いずれにしろ、釣り合い条件だけでは、反力は一意に決められません。

投稿日時 - 2012-05-09 13:52:31

ANo.1

支持力は垂直に限るのでしょうか?

もしそうなら、2点支持では力は一意に定まるので
4点支持なら解は一意に定まらないはずです。

投稿日時 - 2012-05-09 12:59:18

お礼

tknakamuriさん、ありがとうございます。
支持力は垂直に限ります。

投稿日時 - 2012-05-09 14:17:58

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