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ベクトルの証明がわかりません

この図においてODベクトルをxベクトル、OEベクトルをyベクトル、OFベクトルをzベクトルとおきます。(1)OA'ベクトルOB'ベクトルOC'ベクトルをxベクトル、yベクトル、zベクトルで表しなさい
(2)A'B'ベクトルの二乗=(OB'ベクトル-OA'ベクトル,OB'ベクトル-OA'ベクトル)に(1)の結果を代入し、A'B'ベクトル=B'C'ベクトル=C'A'ベクトルを証明しA'B'C'が正三角形であることを証明しなさい
(3)(OAベクトル,OBベクトル)、(OBベクト,OCベクトル)、(OCベクトル,OAベクトル)を計算してcos∠AOB
、cos∠BOC、cos∠COAの値から∠AOB、∠BOC、∠COAを求めなさい
一生懸命考えたのですが、どうしてもわからないので、解いてほしいです。よろしくお願いします。

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投稿日時 - 2012-05-13 08:30:57

QNo.7472895

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回答(1)

ANo.1

条件が足りないところがあるので、こちらで勝手に解釈して考えてみました。
もしも違ってたら、教えて下さい。
図は、立方体、A',B',C'は、OA,OB,OCの中点と言うことにします。
ODベクトルをxベクトル、OEベクトルをyベクトル、OFベクトルをzベクトル だから、
|x|=|y|=|z|,
内積(x,y)=|x||y|cos(π/2)=0より、同様にして(y,z)=(z,x)=0です。
(以下で、これらの条件を使います。)

>(1)OA'ベクトルOB'ベクトルOC'ベクトルをxベクトル、yベクトル、zベクトルで表しなさい
OA=OD+OE=x+y,OB=OE+OF=y+z,OC=OF+OD=z+x より、
OA'=(1/2)OA=(1/2)(x+y)
OB'=(1/2)OB=(1/2)(y+z)
OC'=(1/2)OC=(1/2)(z+x)

>(2)A'B'ベクトルの二乗=(OB'ベクトル-OA'ベクトル,OB'ベクトル-OA'ベクトル)に(1)の結果を代入し、A'B'ベクトル=B'C'ベクトル=C'A'ベクトルを証明しA'B'C'が正三角形であることを証明しなさい
|A'B'|^2=|OB'-OA'|^2
=|(1/2)(z-x)|^2
=(1/4){|z|^2-2(z,x)+|z|^2}
=(1/4)(|z|^2+|x|^2)
=(1/4)×2|x|^2
=(1/2)|x|^2 より、|A'B'|=(1/√2)|x|
他に、|B'C'|,|C'A'|も同じように示せるので、3つの辺が等しいことが言えます。

>(3)(OAベクトル,OBベクトル)、(OBベクト,OCベクトル)、(OCベクトル,OAベクトル)を計算してcos∠AOB、cos∠BOC、cos∠COAの値から∠AOB、∠BOC、∠COAを求めなさい
(OA,OB)=(x+y,y+z)
=(x,y)+(x,z)+|y|^2+(y,z)
=|y|^2=|x|^2
|OA|^2=|x+y|^2
=|x|^2+2(x,y)+|y|^2=|x|^2+|y|^2=2|x|^2より、
|OA|=√2|x|
同様に、|OB|=√2|x|
cos∠AOB=(OA,OB)/|OA||OB|=|x|^2/(√2|x|)^2=1/2
よって、∠AOB=π/3
他も同じように示すことができます。

どうでしょうか?

投稿日時 - 2012-05-13 16:25:22

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