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【ベクトル】

OA=√3、OB=1、∠AOB=90°の直角三角形OABの外接円をCとする。
OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとし、
円C上の点PをOPベクトル=xaベクトル+ybベクトルとあらわすとき、

(1)x、yの関係式は?

(2)辺ABを1:2にない文する点をDとし、
直線ODと円Cとの交点のうち、OでないものをP1とする。
OP1ベクトルをaベクトル、bベクトルで表すと?

ベクトルが最近得意になってきたら…
いつもと違うような問題形式に戸惑ってます。
解説付きでお願いしたいです!

投稿日時 - 2012-05-17 19:33:25

QNo.7481066

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

(1)∠AOB=90°なので、円CはABを直径とする円。
また、円CがABを直径とする円なので、∠APB=90°

AP=OP-OA=(x-1)a+yb (AP,OP,OA,a,bはベクトル)
BP=OP-OB=xa+(y-1)b (BP,OP,OB,a,bはベクトル)

∠AOB=90°より、a・b=0(a,bはベクトル)
∠APB=90°より、AP・BP=0(AP,BPはベクトル)

だから
{(x-1)a+yb}・{xa+(y-1)b}=0
x(x-1)|a|^2+y(y-1)|b|^2=0
3x(x-1)+y(y-1)=0
3x^2-3x+y^2-y=0

(a,bはベクトル)

(2)
DはABを1:2に内分する点なので、
OD=2/3a+1/3b (OD,a,bはベクトル)
P1はOD上なので、OP1=2ka+kb(OP1,a,bはベクトル、kは正の実数)とおける
P1は円C上なので、(1)の関係が成り立つ
よって
3(2k)^2-3*2k+k^2-k=0
k=0,7/13
k>0よりk=7/13
よってOP1=14/13a+7/13b(OP1,a,bはベクトル)

だと思います

投稿日時 - 2012-05-17 21:00:56

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回答(3)

ANo.3

OA=√3、OB=1、∠AOB=90°の直角三角形OABの外接円をCとする。
OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとし、
>円C上の点PをOPベクトル=xaベクトル+ybベクトルとあらわすとき、
|a|=√3,|b|=1,(a,b)=|a||b|cos90°=0……(ア)

>(1)x、yの関係式は?
∠AOB=90°より、ABに対する円周角と見ればABは外接円Cの直径。
また、直角三角形OABより、AB=2であるから、外接円Cの半径は1
ABの中点が外接円Cの中心だから、それをMとすると、
OM=(1/2)(QA+OB)=(1/2)(a+b)
OP=xa+ybとすると、Pは円周上の点だから、
MPの長さは半径と一致する。よって、|MP|=1より、
|OP-OM|^2=1
OP-OM=(xa+yb)-(1/2)(a+b)
=(x-1/2)a+(y-1/2)b
|(x-1/2)a+(y-1/2)b|^2
=(x-1/2)^2|a|^2+2(x-1/2)(y-1/2)(a,b)+(y-1/2)^2|b|^2
=3(x-1/2)^2+(y-1/2)^2 ……(ア)より、
=1
これを展開して整理すると、3x(x-1)+y(y-1)=0

>(2)辺ABを1:2にない文する点をDとし、
直線ODと円Cとの交点のうち、OでないものをP1とする。
>OP1ベクトルをaベクトル、bベクトルで表すと?
OD=(2/3)OA+(1/3)OB=(2/3)a+(1/3)b
O,D,P1は一直線上にあるから、
OP1=kODとおける よって、
OP1=(2/3)ka+(1/3)kb ……(イ)
P1は円C上の点だから、OP1=xa+yb……(ウ)と表せる
(イ)(ウ)を係数比較すると、
x=(2/3)k,y=(1/3)k……(エ) これを(1)の結果の式に代入すると、
3×(2/3)k×{(2/3)k-1}+(1/3)k×{(1/3)k-1}=0
(13/9)k^2-(7/3)k=0,k(13k-21)=0
k=0でないから、k=21/13 (エ)に代入すると、
x=14/13,y=7/13
よって、OP1=(14/13)a+(7/13)b

でどうでしょうか?

投稿日時 - 2012-05-19 02:58:52

ANo.2

(1)>
aベクトルをa↑、aベクトルの大きさを|a↑|と書きます。
直角三角形OABの斜辺ABは外接円Cの直径であり、その長さは2。
円C上の点Pと点A、Bで出来る△ABPも斜辺をABとする直角三角形。
BP↑=OP↑-b↑=xa↑+yb↑-b↑=xa↑+(y-1)b↑
AP↑=OP↑-a↑=xa↑+yb↑-a↑=(x-1)a↑+yb↑
|BP↑|^2=|xa↑|^2+|(y-1)b↑|^2=3x^2+(y-1)^2
|AP↑|^2=|(x-1)a↑|^2+|yb↑|^2=3(x-1)^2+y^2
△ABPに三平方の定理を適用して
2^2=3x^2+(y-1)^2+3(x-1)^2+y^2=6x^2-6x+2y^2-2y+4
整理して3(x^2-x)+y^2-y=0
(2)>
BA↑=a↑-b↑、BD↑=(2/3)BA↑
OD↑=b↑+BD↑=b↑+(2/3)(a↑-b↑)=(2/3)a↑+(1/3)b↑
|OD↑|^2=|(2/3)a↑|^2+|(1/3)b↑|^2=(4/3)+(1/9)=13/9
|OD↑|=(√13)/3
△ADP1∝△OBDよってAD/OD=DP1/BD → DP1=AD*BD/OD
AD=2/3、BD=4/3よりDP1={(2/3)(4/3)}/{(√13)/3}=8/(3√13)
DP1↑=(DP1/|OD↑|)OD↑=[{8/(3√13)}/{(√13)/3}]OD↑=(8/13)OD↑
以上より、OP1↑=OD↑+DP1↑=(21/13)OD↑=(21/13){(2/3)a↑+(1/3)b↑}
=(14/13)a↑+(7/13)b↑・・・答え

投稿日時 - 2012-05-18 21:53:56

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