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解決済みの質問

数学IIIの定積分あたりの問題です

n =≧2の時、次の不等式が成り立つことを示せ。
1)1+√2/1+√3/1+…+√n/1<2√2-1
2)nlogn-n+1<log1+log2+log 3+…log n

回答
1)y=√x/1は減少関数でk<x<k+1のとき

√k+1/1<√x/1より…

とあるのですが、よりは一体どこから導きだされたのでしょうか。



参考書の回答がいまいち理解できません。どなたか詳しく教えて頂けないでしょうか。お願い致します!!

投稿日時 - 2012-05-20 16:30:53

QNo.7486288

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

♯1です。
例えば
2√(n+1) -2<1+(1/√2)+(1/√3)+・・・・・(1/√n)
のように1+(1/√2)+(1/√3)+・・・・・(1/√n)が大きくなる評価をするときは(1/√x)<(1/√n)
を使います。
示すべき式をみて判断できませんか。

投稿日時 - 2012-05-20 22:15:10

お礼

示すべき式で理解できました!!助かりましたありがとうございました。
また困ったときはご教授お願い致します!!

投稿日時 - 2012-05-20 22:36:11

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

1)は問題がおかしくありませんか?√x/1は√xが分子,1が分母,の意味になりますが・・・。
1+(1/√2)+(1/√3)+・・・・(1/√n)<(2√n)-1
ではないのですか。もしそうなら以下の方針。
x<k+1なら√x <√(k+1)
逆数にすれば大小が逆転し1/(√(k+1))<1/(√x)
両辺x:k→k+1で積分し,k:1→n-1の総和をとる。
最後に両辺に1をたす。


2) nlogn -n+1 はlogxのt:1→nの定積分。
y=logx とx軸,x=nの囲む面積と,それを上から囲む幅1の短冊の面積の和,の比較。

投稿日時 - 2012-05-20 19:04:01

補足

問題の入力ミスでした。ご指摘ありがとうございます。

続けて教えていただきたいのですが
k<x<k+1の逆数は
1/(k+1)>1/x>1/kですが、問題集の回答は1/(k+1)>1/xを基に解説しています。
1/x>1/kを基にしては正解が得られないのでしょうか?
何で1/(k+1)>1/x>1/kを基に解説するのかそこがわかりません。
それとも、どちらでも同じ答えになるのでしょうか。
私の計算では異なる結果となりましたので、上記の疑問があります。

投稿日時 - 2012-05-20 20:33:36

お礼

ご回答ありがとうございました!!


まだ理解できない箇所がありまして…上記の疑問です。教えて頂けますでしょうか。

投稿日時 - 2012-05-20 21:36:37

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