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解決済みの質問

2次不等式の解について

2次方程式 f(x)=x^2-2x-a^2+2a について考えよう。
f(x)=0 の解は x=a,x=2-a であり、

『a-(2-a)=2(a-1) であるから2次方程式f(x)<0 の解は

a<1のとき 
a=1のとき 解なし
a>1のとき 2-a

である。』

という問題なのですが、f(x)=0の解は出せるのですが、『』内の計算が何をやっているのか全然分からないんです。2次「方程式」は解けるのですが2次「不等式」になったら考え方がイマイチよく分からないのですが、どう考えればいいのでしょうか?

投稿日時 - 2004-01-12 22:14:08

QNo.749336

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

グラフを書いてみましょう。
f(x)の二次の係数が正ですから下に凸のグラフですね。
aと2-aがf(x)=0の解ですから、グラフはaと2-aでx軸と交わります。
ただし、この段階では、aと2-aはどちらが大きいか(どちらが右でどちらが左か)判りません。
そこで、aと2-aの差a-(2-a)=2(a-1)を取って場合分けするわけです。
aから2-aを引いて負であれば、すなわち、2(a-1)<0⇒a<1であれば、a<2-a。
2(a-1)=0⇒a=1であれば、a=2-a
2(a-1)>0⇒a>1であれば、2-a<a
となり、aと2-aの位置関係がはっきりするので解が求まります。

投稿日時 - 2004-01-12 22:34:05

お礼

よく理解できました!
ありがとうございます!

投稿日時 - 2004-01-13 12:35:38

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回答(3)

ANo.3

> a-(2-a)=2(a-1) であるから2次方程式f(x)<0 の解は
>
> a<1のとき 
> a=1のとき 解なし
> a>1のとき 2-a

2次不等式f(x)<0 の解は
a<1のとき a<x<2-a
a=1のとき 解なし
a>1のとき 2-a<x<a
ですね。

まず、2次方程式 f(x)=0 と2次関数 y=f(x)の関係ですが、
方程式f(x)=0の解は、2次関数y=f(x)とx軸との交点のx座標になります。
次に 2次不等式 f(x)<0 の解は、グラフで考えると、2次関数y=f(x)のグラフ(放物線)において、y<0となるxの範囲を求めることです。
y<0 となる範囲というのは、つまり、x軸より下側にある範囲ですね。
逆に f(x)>0 なら、y>0となる範囲で、今度はx軸より上側になる範囲です。

さて、本問 y=f(x)=x^2-2x-a^2+2a について考えてみましょう。
x^2の係数が正ですから、y=f(x)のグラフは下に凸な放物線です。
2次不等式 f(x)<0 を考えたとき、y<0 つまり、x軸より下側にあるときのxの範囲はどうなるでしょうか?
グラフを書けば一目瞭然とは思いますが、放物線とx軸との2つの交点の間の範囲であることが分かると思います。
ここで、2つの交点のx座標、つまり2次方程式f(x)=0の2つの解、x=aとx=2-aの大小関係が問題になってきますね。
あとは、#1さんの解説どおり、aと2-aの差を取り、その結果によって大小関係を場合分けすればよいわけです。

投稿日時 - 2004-01-13 11:06:14

お礼

やはりグラフを描くのが大事なんですね!
ありがとうございます!

投稿日時 - 2004-01-13 12:37:30

簡単に言うと、y=f(x)のグラフとy=0(X軸)との交点がどうなっているか調べています。

a=1の時はX軸との交点は1点、つまり接しています。
それ以外の時はX軸とは2点で交わっているのですが、どちらの点が小さいかを調べる必要があります。

二つの交点をa1とa2として、a1<a2の場合、f(x)<0の解は
a1<x<a2となります。

a<1の時はaが小さい(左側の交点)ので
 a1=a、a2=2-a
 つまり、a<x<2-a

a>1の時は2-aが小さい。
 a1=2-a、a2=a
 2-a<x<a

です。

a=1の場合は接しているので、f(x)は必ず
f(x)>=0(0以上)の値をとるので、解なしです。

不等式
 f(x)<0
を解く場合は、
 y=f(x)のグラフとy=0のグラフ(X軸)を図示してみて範囲を考えるとわかりやすいですよ。

投稿日時 - 2004-01-12 22:38:00

お礼

グラフ書いてみると確かに分かりました!
ありがとうございます!

投稿日時 - 2004-01-13 12:36:22

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