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ロピタルの定理について

lim x→a {f’(x)/g’(x)}が存在すれば,lim x→a {f(x)/g(x)}=lim x→a {f’(x)/g’(x)}ということなんですが,
この「・・・存在すれば」という意味は,どういう意味でしょうか?
極限値をもつという意味ですか。
それとも,極限値があるかないかではなくて,分母,分子を1回微分しても,
分母がゼロになったりせず,まだ式がつくれるという意味ですか?
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-05-31 23:57:37

QNo.7507543

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質問者が選んだベストアンサー

No.3です。補足です。

lim x→a {f’(x)/g’(x)}の分母が0、分子が0以外の値をとる場合、
xをaに近づけていくと∞に発散していきます。
すなわち、lim x→a {f’(x)/g’(x)}が特定の値となりません。
それでも、lim x→a {f(x)/g(x)}の特定の値になることがあるので、「・・・存在すれば」という記述になるのです。

逆の記述で、lim x→a {f(x)/g(x)}では直接求められないけど、lim x→a {f’(x)/g’(x)}が存在すればlim x→a {f(x)/g(x)}=lim x→a {f’(x)/g’(x)}を使って値を求められるという定理です。

投稿日時 - 2012-06-01 16:33:47

お礼

了解です。ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-07-15 12:37:31

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回答(5)

ANo.5

No.1 さんの言うとおり。
「lim x→a {f’(x)/g’(x)}が存在すれば」と断ることで
何が言いたいのかは、
例えば、f(x)=sin(x), g(x)=x^2, a=0 の場合を
考えてみれば判る。

投稿日時 - 2012-06-01 19:44:13

お礼

なるほど,ありがとうございます。

投稿日時 - 2012-07-15 12:37:00

ANo.3

f’(x)/g’(x)を微分の定義に従って書き直すと、
{lim h→0 [f(x+h)-f(x)]/h}/{lim h→0 [g(x+h)-g(x)]/h}

これの意味は図で表したとき、それぞれの接線の傾きとなります。
f(x)とg(x)の値がある値に収束する場合は、定義通りになります。

aが∞であったり、f(x)とg(x)が∞になる場合、必ずしも成り立つとは言えません(実際成り立たないものがある)。

これは、"∞という値にxやf(x)、g(x)の値が収束する訳ではない"ということがミソです。

lim x→aはxをあるaという値に収束させますが、lim x→∞はxを∞に収束させるわけではありません。
f(x)、g(x)もそうで、∞という値を取るわけではありません。

最初に戻りますが、"それぞれの関数の接線の傾き"が比として定義出来るならば、
元のf(x)/g(x)の極限として、それぞれの関数の接線の傾きを代用できるということになります。

投稿日時 - 2012-06-01 12:12:44

お礼

とりあえず,ありがとうございます。ちょっと,よく考えてみます。まずは,考えてみます。解答,ありがとうございます。

投稿日時 - 2012-06-06 12:38:07

ANo.2

なんかこの頃、こういうの多くないですか?

No.1さん。 いつもお世話になっております。m(_ _)m

と、質問者さんには関係のない時候の挨拶 すみません。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

ここね。下のほうまでちゃんと読んでみて?

そしたら、極限が存在する って言う意味は分かると思うから。


何でだろうね、教えないのかなぁ~ちゃんと。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

投稿日時 - 2012-06-01 00:58:46

ANo.1

「極限値をもつ」です.

この「ロピタルの定理」の説明は正確じゃないけど.

投稿日時 - 2012-06-01 00:00:41

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-07-15 12:37:48

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