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コーシーシュワルツの不等式の問題

a>0、b>0、c>0、d>0のとき
(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つことを証明せよ

コーシーシュワルツの不等式を使うのですがどうやるのでしょうか?教えてください

投稿日時 - 2012-06-03 14:51:04

QNo.7512180

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質問者が選んだベストアンサー

>a>0、b>0、c>0、d>0のとき
>(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つことを証明せよ
コーシーシュワルツの不等式
(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2)
   ≧(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)^2より、
a1=√1/a,a2=√1/b,a3=√4/c,a4=√4/d,
b1=√a,b2=√b,b3=√c,b4=√dとおくと、
{(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)}(a+b+c+d)
  ≧(√1/a・√a+√1/b・√b+√4/c・√c+√4/d・√d)^2
右辺=(1+1+√4+√4)^2
=(1+1+2+2)^2
=6^2
=36
よって、{(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)}(a+b+c+d)≧36
a+b+c+d>0だから、両辺を割って、
(1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つ

どうでしょうか?

投稿日時 - 2012-06-03 16:57:36

お礼

よく分かりました ありがとうございました

投稿日時 - 2012-06-03 17:05:24

ANo.1

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回答(1)

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