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部分分数分解について教えてください。

部分分数分解について教えてください。

分子がS分母が(s+2)^2 ×(s+2s+10)の分数F(S)を部分分数分解したいのですが、途中で分からないところがありあります。

(s+2s+10)を因数分解するとS=-1±j3となり
F(S)=1/{(s+2)^2×(s+1-j3)×(s+1+j3)}までわかります。

ここからよくわからないのですが、部分分数分解すると

F(s)=A/(s+2)^2 + B/(s+2) + C/(s+1-j3) + D/(s+1+j3) ※ABCDは自分で置いたもの。

こうなるのですが、ここまでの過程を教えていたいただけないでしょうか?
お願いします。

投稿日時 - 2012-06-15 10:36:11

QNo.7534329

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回答(3)

ANo.3

F(s)=s/{(s+2)^2*(s^2+2*s+10)}

部分分数分解は、普通

F(s)=A/(s+2) +B/(s+2)^2 +(Cs+D)/(s^2+2s+10)

のように分解します。
この場合は
A=3/50, B=-1/5, C=-3/50, D=1/5
となります。

F(s)=A/(s+2)^2+B/(s+2)+C/(s+1-j3)+D/(s+1+j3)
と分解したければ

A=F(s)(s+2)^2|(s→-2)=s/(s^2+2s+10)|(s→-2)=-1/5
B={F(s)(s+2)^2}'|(s→-2)
={(s^2+2s+10)-s(2s+2)}/(s^2+2s+10)^2|(s→-2)
=3/50
C=F(s)(s+1-j3)|(s→-1+j3)=s/{(s+2)^2*(s+1+j3)}|(s→-1+j3)
=-(9+j13)/300
D=F(s)(s+1+j3)|(s→-1-j3)=s/{(s+2)^2*(s-1+j3)}|(s→-1-j3)
=-(9+j13)/300
という計算をします。

投稿日時 - 2012-06-15 15:01:49

ANo.2

F(s) = P(s)/{Q(s)・(s-a)^n} で、P,Q は多項式、Q(a)≠0 の場合に
F(s) を部分分数分解することを考えてみます。
F(s)・(s-a)^n が s=a の近傍で正則な関数になるので、
これをテイラー展開して F(s)・(s-a)^n = Σ[k=0→∞] (c_k)(s-a)^k より、
F(s) = Σ[k=0→(n-1)] (c_k)/(s-a)^(n-k) + Σ[k=n→∞] (c_k)(s-a)^(k-n).
右辺第二項は s=a で正則なので、部分分数分解後に
分母に (s-a) が入る部分は Σ[k=0→(n-1)] (c_k)/(s-a)^(n-k) だけです。

以上の操作を、分解したい式の分母の各因数について順に行えば、
s/{(s^2+2s+10)(s+2)^2} は、貴方がやったように
= A/(s+2)^2 + B/(s+2)^2 + C/(s+1-3i) + D/(s+1+3i) となります。
これが、そのように置いてよい理由です。

(A,B,C,D の値を求める計算は、また別の話です。
lim[s→2] F(s)・(s+2)^2 = A,
lim[s→-1+3i] F(s)・(s+1-3i) = C,
lim[s→-1-3i] F(s)・(s+1+3i) = D ですから、
これらを求めて、もとの式へ代入すれば B も判ります。)

投稿日時 - 2012-06-15 13:54:25

ANo.1

部分分数分解
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3
に書いてあります

…と投げっぱなしなのは何なので、軽く解説します。

分数
f(x)/g(x)において、

g(x)が互いに素なg1(x),g2(x),g3(x)...に因数分解される時、
f(x)/g(x) = f1(x)/g1(x) + f2(x)/g2(x) + f3(x)/g3(x) + .... に分解され、

g(x)が多項式p(x)の冪乗p(x)^nである時、
f(x)/g(x) = fn(x)/p(x)^n + fn-1(x)/p(x)^(n-1) + .... に分解されるという性質があります。

(証明はwikipediaをごらんください。)

これはその組み合わせです。

投稿日時 - 2012-06-15 12:12:45

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