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ピタゴラスの定理の逆算

ピタゴラスの定理で、直角三角形の斜辺cの長さは、
a^2 x b^2 = C^2
で求められると思いますが、
cの長さから、aとbの長さは求められますか?

aとbの長さは分かっていませんが、それぞれ、例えば3:4の長さ比ということは分かっています。
aの長さが6なら、bの長さは8ということです(3:4=6:8)。
仮にcを5cmだとすると、aは3cm、bは4cmとなりますよね? (3^2 x 4^2 = 5^2)

分かっているのは、cの長さとaとbの対比だけの場合の、
aとbの求め方を教えて下さい。

投稿日時 - 2012-07-02 20:53:00

QNo.7568391

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>分かっているのは、cの長さとaとbの対比だけの場合の、
>aとbの求め方を教えて下さい。
a>0,b>0とします。
aの長さ=xとします。bの長さは、x:bの長さ=a:bより、bの長さ=bx/a 
c^2=x^2+(bx/a)^2
{1+(b^2/a^2)}x^2=c^2
x^2=c^2×a^2/(a^2+b^2)
x>0より、
x=ac/√(a^2+b^2)
よって、
aの長さ=ac/√(a^2+b^2)
bの長さ=bc/√(a^2+b^2)

になりましたが、どうでしょうか?

投稿日時 - 2012-07-02 21:13:33

ANo.3

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回答(4)

皆さんが回答してくださった方法が、正攻法といったところ。

パッとお手軽に計算するなら、次のような感じ。数というものに慣れるつもりで。

斜辺以外の2辺の比が等しい複数の直角三角形は、中学校で習う相似条件や、高校で習う tan などを考えれば、互いに相似です。

例えば a:b = 1:2, c = 15 という直角三角形で、a、b を計算しましょう。この三角形と相似な、ある三角形の辺の長さを a'、b'、c' とし、a' = 1、b' = 2 であるとすると、c'^2 = a'^2 + b'^2 = 5。つまりこの三角形や、それと相似である a、b、c の長さの辺を持つ三角形は、3辺の比が 1:2:√5 だと分かります。あとは、小学校で習う比の計算と同じです。a = 15×1÷√5 = 3√5、b = a×2 = 6√5 と出ます。

どうですか?数に慣れましょう。

ついでに確かめ算もしてみましょう。

(3√5)^2 + (6√5)^2 = (3√5)^2 (1+2^2) = 3^2×(√5)^2×5 = 3^2×5^2 = 15^2

確かに c^2 = 15^2 になっていますね?

3:4:5 の三角形で、c = 10 なら、a、b はいくつ?そう、2倍だから、a = 6、b = 8 です。つまり、比ですね。

投稿日時 - 2012-07-02 23:34:05

ANo.2

a^2 + b^2 = c^2 で OK ?

b = ka とでもすれば、
(a^2)*(1 + k^2) = c^2
にて k, c を与えれば、バタバタ。
    

投稿日時 - 2012-07-02 21:09:29

ANo.1

 
abの比が判ってるなら
b=4/3a
としてbに代入すれば

a^2*(4/3a)^2=c^2

これを解けばaが判るので
b=4/3a
でbも判る
 

投稿日時 - 2012-07-02 21:07:13

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