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解決済みの質問

ベクトルの質問です。

△OABにおいて、OA=3 OB=√3 cos∠AOB=-√3/3である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。また、OAベクトル=aベクトル OBベクトル=bベクトルとする。

(1)内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。また、OPベクトルをaベクトル bベクトルを用いてあらわせ。

(2)OQベクトル=tOPベクトル(tは実数)となる点Qをとる。AQ⊥OQとなるとき、tの値をもとめよ。
(3直線OPに関して点Aと対称な点をCとする。)直線ABと直線OCとの交点をRとするとき
ORベクトルをaベクトル bベクトルを用いて表せ。

投稿日時 - 2012-07-02 21:19:01

QNo.7568456

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質問者が選んだベストアンサー

ベクトルを記号の後ろに↑をつけて表す。aベクトルなら a↑と書くことにします。
図を添付するので参考にして下さい。
座標系をOを原点、OA↑をX軸に重なるようにとると
a↑=(3,0), b↑=(-1,√2)
となります。

(1)
a↑・b↑=OA*OB*cos∠AOB=3√3*(-√3/3)=-3
OP↑=OA↑+(1/3)AB↑=a↑+(1/3)(b↑-a↑)=(2/3)a↑+(1/3)b↑

(2)
(1)より
OQ↑=tOP↑=(2t/3)a↑+(t/3)b↑ (t≠0)
AQ↑=OQ↑-OA↑=(2t/3-1)a↑+(t/3)b↑

AQ⊥OQのとき 内積AQ↑・OQ↑=0より
AQ↑・OQ↑=((2t/3-1)a↑+(t/3)b↑)・((2t/3)a↑+(t/3)b↑)
=(2t/3)(2t/3-1)*3^2+(t/3)^2*(√3)^2+(t/3)((2t/3)+(2t/3-1))*(-3)
=2t(2t-3)+(1/3)t^2-t(4t/3-1)
=3t^2-5t=t(3t-5)=0
t≠0より t=5/3

(3)
t=5/3のときの
AQ↑=((2t/3-1)a↑+(t/3)b↑)=(1/9)a↑+(5/9)b↑
OC↑=OA↑+2*AQ↑=a↑+(2/9)a↑+(10/9)b↑=(11/9)a↑+(10/9)b↑
OR↑=sOC↑とおくと
OR↑=(11s/9)a↑+(10s/9)b↑ ...(A)
一方
OR↑=OA↑+kAB↑=a↑+k(b↑-a↑)=(1-k)a↑+kb↑ ...(B)
RはOCとABの交点であるから
(A),(B)のOR↑は同一ベクトルなのでベクトルの係数も等しいから
11s/9=1-k, 10s/9=k
s,kを求めると s=3/7,k=10/21
(B)にkを代入すれば
OR↑=(11/21)a↑+(10/21)b↑ ←(3)の答え

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投稿日時 - 2012-07-03 05:04:46

ANo.2

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回答(2)

ANo.1

>△OABにおいて、OA=3 OB=√3 cos∠AOB=-√3/3である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。
>また、OAベクトル=aベクトル OBベクトル=bベクトルとする。
|a|=3,|b|=√3 …(1)
>(1)内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。
>また、OPベクトルをaベクトル bベクトルを用いてあらわせ。
a・b=|a||b|cos∠AOB=3×√3×(-√3/3)=-3…(2)
AP:PB=1:2より、OP=(2/3)OA+(1/3)OB=(2/3)a+(1/3)b

>(2)OQベクトル=tOPベクトル(tは実数)となる点Qをとる。AQ⊥OQとなるとき、
>tの値をもとめよ。
OQ=tOPより、
=(2/3)ta+(1/3)tb
AQ=OQ-OA
=(2/3)ta+(1/3)tb-a
={(2/3)t-1}a+(1/3)tb…(3)
AQ・OQ
=[{(2/3)t-1}a+(1/3)tb]・{(2/3)ta+(1/3)tb}
={(2/3)t-1}・(2/3)t|a|^2+{(2/3)t-1}・(1/3)t(a・b)
  +(1/3)t・(2/3)t(a・b)+(1/3)t・(1/3)t|b|^2
(1)(2)を代入し、展開して整理すると
=t(3t-5)
=0
t≠0より、t=5/3

>(3直線OPに関して点Aと対称な点をCとする。)直線ABと直線OCとの交点をRとするとき
>ORベクトルをaベクトル bベクトルを用いて表せ。
(2)より、QはOP上の点で、AQ⊥OQだから、AQ⊥OP 
OPに関して点Aと対称な点をCとするだから、AC⊥OPだから、QをACの中点と考えると
AC=2AQ 
(3)にtの値を代入すると、AQ=(1/9)a+(5/9)bだから、
AC=(2/9)a+(10/9)b
OC-OA=(2/9)a+(10/9)b
OC=(2/9)a+(10/9)b+a
=(11/9)a+(10/9)b ……(4)
AR:RB=s:(1-s)とすると、
OR=(1-s)OA+sOB=(1-s)a+sb
O、R,Cは一直線上にあるから、
OC=kORとおけるから、
OC=(1-s)ka+skb ……(5)
(4)(5)を係数比較すると、
(1-s)k=11/9,sk=10/9
連立で解くと、k=7/3,s=10/21
よって、OR=(11/21)a+(10/21)b

投稿日時 - 2012-07-03 02:05:13

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