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数学:図形と方程式

わからない問題があるので、教えてください。


xy平面上に,2つの円C1:x^2+y^2=4,C2:(x-1)^2+(y-2)^2=4がある。

(1)円C1,C2の交点を通る直線の方程式を求めよ。



よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-07-13 19:23:34

QNo.7588603

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回答(6)

また、一人 馬鹿がいた。。。。。。w

>A No.4 のスタイルで説明するためには、「束」とは何か、求める直線が(1)と表される理由は何か を答案に書かなければ

束、なんて単語は知らなくてもいいし 答案に書く必要もない。
2つの円の交点を通る曲線・直線は そのように表される事は教科書に載ってること。
教科書に載ってることを いちいち説明したり、証明したりする必要もない。
それを証明せよ、という問題なら別だが。

投稿日時 - 2012-07-14 14:49:09

ANo.5

A No.4 のスタイルで説明するためには、「束」とは何か、
求める直線が(1)と表される理由は何か を答案に書かなければ、
A No.1 と変わるところは全く無い。
曲線束なんて、受験以外の数学ではまず見かけない用語だから、
下手をすると採点者も知らないかもしれない。(…な訳ないか)

C1 と C2 を辺々引き算すると求めたい直線が現れることに、
実はあまり理由は無い。主に C1 C2 の式の書き方による偶然
と思ってよい。2円の交点を表す連立方程式 C1,C2 の解が
2点ともに満たす直線の式を見つけさえすればよいのだから、
その方法が、両式を引き算することであってもよいのだ。

(x,y) が C1,C2 をともに満たしていれば 2x+4y-5=0 も満たす
こと、2x+4y-5=0 が直線であることは、どちらも明らかだから、
この直線が題意のものであることが判る。それだけの話。

投稿日時 - 2012-07-14 14:38:08

酷い解答の羅列だね。そんな回答では 解答にならない。
引けば 解答に一致するだけでは答にならない。

2つの円の交点を通る直線は αを定数として{:(x-1)^2+(y-2)^2-4}+α(x^2+y^2-4)=0 ‥‥(1)で表される。

これを“束”という。詳しく知りたければ、検索するとたくさんでてくる。

これを展開して整理すると (x^2+y^2)*(α+1)-4(x+y)+22=0になる。
従って、これが直線になるから、α+1=0
α=-1を(1)に代入するだけ。

2つの円の方程式を引けば 結果が同じ事になるというの結果であって、そのためには上の説明が必要。
結果があってれば良い、ということではない。

投稿日時 - 2012-07-14 13:56:20

ANo.3

C1:x^2+y^2=4
  x^2+y^2-4=0
C2:(x-1)^2+(y-2)^2=4
(x-1)^2+(y-2)^2-4=0
共通の点(x,y)を見つけるために、C1とC2を連立させてやります。

x^2+y^2-4=(x-1)^2+(y-2)^2-4 …(ア)

これを「左辺(C1)-右辺(C2)=0 or 右辺(C2)-左辺(C1)=0」の形にしたのが1、2番さんの言う「引き算」です。
「引き算」というのは「C1とC2を連立させた」という意味です。
(ア)の右辺を展開したり、引き算したりして、整理すると、私の場合は

-2x-4y+5=0…(a)

と、なりました。
答えは2x+4y+5=0(b)だそうですが、(y=)の形に直すと結局(a)も(b)も同じ直線を表す式になります。

=============

(1)に「交点を通る」という言葉があります。

似たような言葉に「共有点」がありますが、
2円の共有点が1つの場合、この共有点のことを「接点」と言ったりしますね。
図形的には、2つの円の接点は∞←こんな感じの真ん中部分ですね。
2円の共有点が2つの場合は、「交点」と言います。
オリンピックのマークの円が2つバージョンを想像してください。

いずれにしても「2円の交点」ってことは、図形的にはオリンピックマーク2つ円バージョン。
要するに、C1,C2に共通の点(x,y)が2つあるってことです。
この2つの共有点を通る直線は、ただ1つの直線となりますね。

ところで、
「りんごが1つ100円、みかんが1つ50円。りんごとみかんで合計5個。りんごとみかん合わせて400円だった。
 りんごの個数をx、みかんの個数をyとするとき、xとyを求めよ。」
って問題のときに、
100x+50y=400
x+y=5
とかやって、連立して求めました。
これからわかるように、
2式に共通の(x,y)を求めるということは、2式を連立方程式として解くということなんです。 

2円に共通の2つの点(x,y)を求めるため連立させてできた直線は、「2円の交点を通る直線」になります。

だから、2式を連立させた結果できた直線2x+4y+5=0は、C1とC2の2つの共通の点(x,y)(すなわち交点)を通る直線を表してるんです。

参考URL:http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=R6koR65p_FU

投稿日時 - 2012-07-14 03:43:51

ANo.2

#1さんの回答の通り、引き算すれば
x^2+y^2=4
(x-1)^2+(y-2)^2=x^2-2x+1+y^2-4y+4=4
2x+4y-5=0になります。

投稿日時 - 2012-07-13 21:12:29

ANo.1

円C1,C2の交点を通る直線はC1,C2をともに満たす。よって引き算して

2x+2y=2

答え

x+t=1

投稿日時 - 2012-07-13 20:17:52

補足

ありがとうございます。

答えは2x+4y-5=0になるみたいなんです。


でも、参考にさせていただきます。

投稿日時 - 2012-07-13 20:55:44

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