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e^iθの大きさ

今日読んだ本に

絶対値(e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1

と書いてありました。
オイラーの公式はe^iθ=cosθ+i sinθですよね

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか?
上の式も下の式もよくわかりません
どなたか両方詳しく教えて下さい。

投稿日時 - 2012-09-01 22:32:29

QNo.7675657

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

この部分は、実数rに対しては、|r|=√(r^2)となるのですが、
複素数cのたいしては、
|c|=√(c*(cの共役複素数))
となります。
(e^iθ)の共役複素数は(e^-iθ)ですから、

絶対値(e^iθ) =√((e^iθ)*(e^-iθ))=√(e^0)=√1=1
となります。

実数と複素数では絶対値の計算が少し異なります。

投稿日時 - 2012-09-02 14:06:30

ANo.4

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回答(4)

ANo.3

複素数の大きさ(絶対値)の定義は

複素数の大きさ(絶対値)=√(複素数の実数成分^2 + 複素数の虚数成分^2)

オイラーの公式はe^(iθ)=cosθ+i・sinθ

以上から

(e^(iθ))の絶対値 = √(cosθ^2+sinθ^2)=√(1)=1

投稿日時 - 2012-09-01 23:05:01

ANo.2

> 絶対値(e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1

複素数の絶対値というのは、複素数平面上の原点からの距離ですよね。

複素数e^iθ=cosθ+i sinθ は 複素数平面上の(cosθ, sinθ)の位置にありますから、
原点(0,0)からの距離は cosθ^2+sinθ^2 の平方根となります。

言い換えると、原点(0,0)を中心とする半径1の円の上にこの点はあります。

すみませんが、下の式というのはよくわかりません。
(どこか違うような気がします)

投稿日時 - 2012-09-01 23:00:54

ANo.1

R*e^(iθ) の絶対値は、R > 0 ならば R そのもの。
e^(iθ) は 1*e^(iθ) ですから、R = 1 が絶対値。

くどくどと書けば、
 |R*e^(iθ)| = |R| * |e^(iθ)|
|e^(iθ)| = √(cosθ^2 + sinθ^2) = 1 だから、
 |R*e^(iθ)| = |R|
R > 0 ならば |R| = R 。

>絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1
>とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか?

それは不成立。
くどくどと書くと、
絶対値(e^iθ) = √{e^(iθ)*e^(-iθ)} = √{e^(iθ-iθ)} = √(e^0) = √(1) = 1

  

投稿日時 - 2012-09-01 22:57:18

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