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解決済みの質問

ベクトルの問題です。

四面体OABCにおいて、OAベクトル= aベクトル、OBベクトル= bベクトル、
OCベクトル= cベクトル、とおく。
|aベクトル|=|bベクトル|=√2 、|cベクトル|=√3、
a・bベクトル= -1、b・cベクトル=2、c・aベクトル= -2
であるとし、3点O.A.Bを含む平面をα とおく。
saベクトル + tbベクトル -cベクトルが平面αに垂直であるとき、実数s.tの値は、s =-1/3 t=1/3である。
点Cから平面αに下ろした垂線と、平面αとの交点をHとすると、
|CHベクトル|= ?。

宜しくお願い致します。

投稿日時 - 2012-09-04 12:53:31

QNo.7680008

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

OA=a
OB=b
OC=c
|a|=|b|=√2
|c|=√3
(a,b)=-1
(c,a)=-2
(b,c)=2
OABを含む平面をα
sa+tb-cが平面αに垂直であるとき
sa+tb-cと平面αに含まれるaは垂直だからその内積
(sa+tb-c,a)=s|a|^2+t(b,a)-(c,a)=2s-t+2=0
sa+tb-cと平面αに含まれるbは垂直だからその内積
(sa+tb-c,b)=s(a,b)+t|b|^2-(c,b)=-s+2t-2=0
4s-2t+4=0
3s+2=0
だから実数s,tの値は,
s=-2/3
t=2/3
だから
「実数s.tの値は、s=-1/3,t=1/3である」は誤りです。

点Cから平面αに下ろした垂線と、平面αとの交点をHとすると、
H=sa+tb=2(b-a)/3
CH=sa+tb-c=2(b-a)/3-c
|CH|^2=|sa+tb-c|^2
=s^2|a|^2+t^2|b|^2+|c|^2+2st(a,b)-2s(a,c)-2t(b,c)
=2s^2+2t^2+3-2st+4s-4t
=(8/9)+(8/9)+3+(8/9)-(8/3)-(8/3)
=1/3

|CH|=1/√3

投稿日時 - 2012-09-05 14:43:49

お礼

大変わかりやすかったです。ありがとうございました。

投稿日時 - 2012-09-08 14:10:42

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回答(3)

ANo.2

(-1/3)a↑+(1/3)b↑-c↑が平面αに垂直である事から、
h↑=(-1/3)a↑+(1/3)b↑と書けます。
a↑・b↑=-1,|a↑|=√2,|b↑|=√2より,
|h↑|^2=|(-1/3)a↑+(1/3)b↑|^2=(1/9)(|a↑|^2-2×(a↑・b↑)+|b↑|^2)=(1/9)(2+2+2)=6/9=2/3
よって、△OCHに三平方の定理を適用して|CH↑|^2=|c↑|^2-|h↑|^2=3-2/3=2/3
|CH↑|≧0より|CH↑|=√6/3

投稿日時 - 2012-09-05 09:28:32

ANo.1

ベクトルを↑で表します。
(-1/3)a↑+(1/3)b↑-c↑=X↑とおくと、X↑は平面αに垂直なので、
c↑+X↑=(-1/3)a↑+(1/3)b↑の終点は平面α上の点Hと一致する。
よって、CH↑=X↑であり、|X↑|=?の問題になる。
a↑・b↑=|a↑|*|b↑|cos∠AOB=(√2)^2cos∠AOB=-1から
cos∠AOB=-1/2、∠AOB=2π/3
よって-a↑とb↑のなす角度はπ-2π/3=π/3
従って|(-1/3)a↑+(1/3)b↑|は、1辺の長さが(√2)/3の正三角形
の高さの2倍になり、
|(-1/3)a↑+(1/3)b↑|=2*{(√2)/3}*{(√3)/2}=√(2/3)
(-1/3)a↑+(1/3)b↑とX↑は直交するので、三平方の定理により
|(-1/3)a↑+(1/3)b↑|^2+|X↑|^2=|c↑|^2
よって、|X↑|^2=|c↑|^2-|(-1/3)a↑+(1/3)b↑|^2
=(√3)^2-{√(2/3)}^2=3-(2/3)=7/9
以上より、|X↑|=|CH↑|=(√7)/3・・・答え

投稿日時 - 2012-09-05 08:00:21

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