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ベクトル

模試の過去問を学校から宿題が出て
やってるんですけど、少し戸惑ったので教えていただきたいのと、
途中まであっているか見て欲しいです!

問題↓
平面上に△OABがあり、OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとする。
辺OAの中点をC、辺OBを1:2に内分する点をD、辺ABを3:1に内分する点をEとする。
また線分CE上に点Pをとり、CP:PE=s:(1-s)(sは実数)とする。

1.OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル
  を用いて表せ。

2.点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。

3.問2のときOA=4、OB=3、∠AOB=60°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。
  点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。


という問題で、1番はそれぞれOEベクトル=(aベクトル+3bベクトル)/4、
OPベクトル=1/2(1-s)aベクトル+s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。

それ以降の解き方など教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-10-19 22:08:34

QNo.7756673

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質問者が選んだベストアンサー

>問題↓
>平面上に△OABがあり、OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとする。
>辺OAの中点をC、辺OBを1:2に内分する点をD、辺ABを3:1に内分する点をEとする。
>また線分CE上に点Pをとり、CP:PE=s:(1-s)(sは実数)とする。

>1.OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル
>  を用いて表せ。

>1番はそれぞれOEベクトル=(aベクトル+3bベクトル)/4、
>OPベクトル=1/2(1-s)aベクトル+s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。
続きから、
OF=(1/4)a+(3/4)b

OC=(1/2)OA=(1/2)aより、
OP=(1-s)OC+sOE
=(1-s)・(1/2)a+s・{(1/4)a+(3/4)b}
={(1/2)-(1/4)s}a+(3/4)s・b ……(1)

>2.点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
A,P,Dは、一直線上にあるから、AP=kADとおける。
AD=(2/3)AO+(1/3)AB
=-(2/3)OA+(1/3)(OB-OA)
=-a+(1/3)bより、
AP=k{-a+(1/3)b}だから、
OP=OA+k{-a+(1/3)b}
=(1-k)a+(1/3)k・b ……(2)
(1)(2)より、係数比較すると、
(1/2)-(1/4)s=1-k,(3/4)s=(1/3)k を連立で解くと、
s=1/4,k=9/16
よって、(2)より、
OP=(7/16)a+(3/16)b

>3.問2のときOA=4、OB=3、∠AOB=60°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。
>  点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。
OA・OB=|OA||OB|cos∠AOB だから、
a・b=4×3×cos60°=12×(1/2)=6

AQ:QB=t:(1-t)とすると、
OQ=(1-t)OA+tOB
=(1-t)a+t・b ……(3)
O,P,Qは、一直線上にあるから、OQ=mOPとおける。
OQ=m{(7/16)a+(3/16)b}
=(7/16)m・a+(3/16)m・b ……(4)
(3)(4)より、係数比較すると、
1-t=(7/16)m,t=(3/16)m を連立で解くと、
m=8/5,t=3/10
よって、(3)より、
OQ=(7/10)a+(3/10)b

RはOA上の点だから、OR=nOA=n・aとおける。
RQ=OQ-OR={(7/10)a+(3/10)b}-n・a
={(7/10)-n}a+(3/10)b

OAとRQは垂直だから、RQ・OA=0より、
[{(7/10)-n}a+(3/10)b]・a
=(7/10)・|a|^2-n・|a|^2+(3/10)(a・b)
=(7/10)・16-16n+(3/10)・6=0だから、
n=13/16
よって、OR=(13/16)a


図を描いて、計算など確認してみて下さい。

投稿日時 - 2012-10-20 14:15:24

お礼

ご丁寧に本当にありがとうございました!

投稿日時 - 2012-10-22 23:27:51

ANo.2

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回答(3)

ANo.3

ベクトルを↑で表します。
1.OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル
  を用いて表せ。
OE↑=a↑+(3/4)AB↑=a↑+(3/4)(b↑-a↑)=(1/4)a↑+(3/4)b↑・・・答え
2.点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
OP↑=(1/2)a↑+sCE↑=(1/2)a↑+s{(1/2)a↑+(3/4)(b↑-a↑)}
={(1/2)-(1/4)s}a↑+(3/4)sb↑
sの値を求めるために、△BDEの面積を1として、以下、各三角形の
面積を計算すると、△AED=3、△OAD=(1/2)△ABD=(1/2)(1+3)=2、
△OCD=△ADC=(1/2)△OAD=(1/2)*2=1、よって△ADC/△AED=1/3。
△ADCと△AEDはADを共有するのでその面積比はCPとPEの比になる
ので、CP/PE=s/(1-s)=1/3から3s=1-s、s=1/4。これを代入して
OP↑={(1/2)-(1/4)*(1/4)}a↑+(3/4)*(1/4)b↑
=(7/16)a↑+(3/16)b↑=(7a↑+3b↑)/16・・・答え
3.問2のときOA=4、OB=3、∠AOB=60°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。
  点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。
u、vを定数として、OQ↑=u↑OP、AQ↑=v↑ABとおくと、
OQ↑=u{(7/16)a↑+(3/16)b↑}=a↑+AQ↑=a↑+v(b↑-a↑)
=(1-v)a↑+vb↑
a↑、b↑の係数を比較して7u/16=1-v、3u/16=v、これを解いて
u=8/5、v=3/10
BからOAに下ろした垂線の足をB'とするとOB'=3cos(π/3)=3/2
よってAB'=OA-OB'=4-3/2=5/2
△AQR∽△ABB'なので、AR/AB'=AQ/AB=3/10から
AR=(3/10)*(5/2)=3/4、よってOR=OA-AR=4-3/4=13/4
以上からOR↑={(13/4)/4}a↑=(13/16)a↑・・・答え

投稿日時 - 2012-10-20 21:46:07

お礼

ご丁寧な回答本当にありがとうございました!

投稿日時 - 2012-10-22 23:28:17

ANo.1

その調子でいいと思います.

・OPはa,bについて整理しておきましょう.

・2ではPがAD上にある条件つまりAP:PD=t:(1-t)とおいてみる.そうしてOPの2通りの表現からa,bの一次独立からs,tをだす.

・3ではOQは,OPのa,bの式からQがAB上であることを使って,a,bで表せます.すると,OR=kaとおいてRQ・OA=0からkがでます.

投稿日時 - 2012-10-19 22:38:21

お礼

ありがとうございました!

投稿日時 - 2012-10-22 23:27:30

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