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高校数学の平面ベクトルの問題

平面上に三角形OABがあり、OAベクトル=aベクトル,OBベクトル=bベクトルとおくとき、|aベクトル|=2,|bベクトル|=1,aベクトル・bベクトル=1/2である。
辺ABの3等分点のうち、Aに近い方をC,Bに近い方をDとし、2点P,QをOPベクトル=xOCベクトル,OQベクトル=yODベクトル(x>0,y>0)によって定める。
(1)OCベクトル,ODベクトルをaベクトル,bベクトルでそれぞれ表せ。
(2)三角形OPQの重心Gが辺AB上にあるとき、yをxで表せ。
(3)(2)のとき、線分PQの長さを最小とするx,yの値を求めよ。

(1)は解けましたが、(2)と(3)がわかりません。
(1)の解答はOCベクトル=2aベクトル+bベクトル/3、ODベクトル=aベクトル+2bベクトル/3です。

ベクトルに詳しい方、どうかよろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-11-13 21:59:44

QNo.7796321

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(2)
ベクトル記号は省略します。
OG=(OP+OQ)/3
  =(x・OC+y・OD)/3
  =(x(2a+b)/3+y・(a+2b)/3)/3
  =(2x+y)・a/9+(x+2y)・b/9
GがAB上にあることから
(2x+y)/9+(x+2y)/9=1
3x+3y=9
x+y=3
y=3-x

(3)
PQ=OQーOP 
  =y・OD-x・OC
  =y・(a+2b)/3-x(2a+b)/3
  =(y-2x)a/3+(2y-x)b/3
ここで(2)の結果のy=3-xを代入して
PQ=(3-3x)a/3+(6-3x)b/3
  =(1-x)a+(2-x)b
ここで点Oの座標を(0,0)、点Aの座標を(0,2)、aとbのなす角をΘとすると点Bの座標は(cosΘ、sinΘ)と表わされるので
PQ=((2-x)cosΘ、2(1-x)+(2-x)sinΘ)
PQの長さの二乗は
(2-x)^2・(cosΘ)^2+4(1-x)^2+4(1-x)(2-x)sinΘ+(2-x)^2・(sinΘ)^2
これにsinΘおよびcosΘの値を代入する
(a・b=2*1*cosΘ=1/2 よりcosΘ=1/4 、sinΘ=±√15/4)
あとは展開、整理してxの二次式として最小値を求めるだけです。

投稿日時 - 2012-11-13 23:02:13

お礼

わかりやすくありがとうございます!
助かりました(*^^*)

投稿日時 - 2012-11-13 23:59:17

ANo.1

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