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数学

n≧2のとき
0≦x≦1/√2で
1≦1/√1-x^n≦1/√1-x^2


といえるのはなんでですか?

0≦x^n≦x^2
となってるんですが
ここからわかりません

お願いします

投稿日時 - 2012-11-25 01:11:31

QNo.7814501

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

0≦x≦1/√2ですから、0≦x<1です。
仮に、例えば、x=0.5ぐらいだと思ってください。
xにxをかければかけるほど小さくなりますよね。
でも、どんなにかけてもゼロより小さくはならない。

すると、n≧2のとき、0≦x^n≦x^2が成り立つのが分かると思います。

あとは、この不等式の各辺に、-1をかけ、1を足し、平方根を取り、逆数にすれば
1≦1/√1-x^n≦1/√1-x^2
に変形できます。

投稿日時 - 2012-11-25 03:59:54

お礼

ありがとうございます。
理解できました!

投稿日時 - 2012-11-25 08:09:12

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回答(2)

ANo.2

n≧2、0≦x≦1/√2(<1)の2つの条件から、0≦x^n≦x^2は言える。
0≦x^n≦x^2 → -1をかけて、不等号を逆にする。→
-x^2≦-x^n≦0 → 全ての項に1を足す。→
1-x^2≦1-x^n≦1、なお、0≦x≦1/√2だから、1/2{=1-(1/√2)^2}≦1-x^2ともなる。→
1/2≦1-x^2≦1-x^n≦1 → 各項を√に入れても不等号の向きはそのまま。→
1/√2=(√2)/2≦√(1-x^2)≦√(1-x^n)≦√1=1 → 各項の逆数をとると、不等号の向きは逆になるから、→
1≦1/√(1-x^n)≦1/√(1-x^2)となり、証明された。

投稿日時 - 2012-11-25 04:18:44

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