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解決済みの質問

球の表面積の微分8πr には?

球の体積4/3πr3を微分すると表面積4πr2となりますが、表面積を微分した8πrには、何か意味があるのでしょうか?
微積は苦手なので、簡単に解説していただけたら、ありがたいです。

投稿日時 - 2004-02-17 09:12:47

QNo.781769

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

たとえば、

球の表面を塗装する場合に、
半径を1単位増やしたときに塗料がどれだけ余分に必要か、

など。

投稿日時 - 2004-02-17 13:02:09

お礼

ありがとうございました。ようするに、半径Δrが増加した時の表面積ΔSの増加率という意味でいいのうでしょうか?

投稿日時 - 2004-02-17 14:24:42

ANo.2

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回答(4)

ANo.4

#3のKENZOUです。
すみません。質問を取りちがえていました。表面積の微分ですね。
>半径Δrが増加した時の表面積ΔSの増加率
その通りです。お騒がせしました^^;)。

投稿日時 - 2004-02-17 18:34:09

お礼

ありがとうございました。高3年の時《積分することで球の体積がでる》に感動した記憶がありますが、先生の話しで(積分は微分の逆)…について、本当の積分の定義は?と考えていたら、授業についていけなくなりました。この点は未だに疑問です。何かいいサイトありますか?

投稿日時 - 2004-02-18 11:58:52

ANo.3

おもしろい設定の質問なのでよこからから蛇足を一言。
球の体積をV=(4/3)πr^3とするとこれをrで微分して
dV/dr=4Πr^2。従って 
>半径Δrが増加した時の表面積ΔSの増加率
ではなくて正確には半径rの増加に対する体積の変化率ということになりますね。つまり饅頭の薄皮が一枚重なっていくというイメージで、、、これはwolvさんがいわれた
>塗料がどれだけ余分に必要か表面に塗る塗料がどれだけ余分に増えるかという
ということですね。
ちなみに円の場合はS=πr^2でds/dr=2πrですから、円周は半径の増減に対する面積の変化率ということになります。

投稿日時 - 2004-02-17 18:27:59

ANo.1

解説ではなくて、直感的な意見を述べるだけなんですが、
たぶん境界の何らかの測度を表すのでしょう。
そう考えると球の体積の微分が、その球の境界(表面)
の面積になるというのは納得。
そうしてたとえば円の面積の微分が、その面の境界(円周)
の長さというようになるというのも何となく理解できます。
それで球の表面の場合、境界がないので、
どうも同じアイデアではうまくいかない気がします。
とりあえず同半径の円周の4倍にはなっていますが、
僕にはこの4という数字にこじつけ以外の
理由を与えることはできません。

きっとどなたがよい助言を与えてくださると思いますけれど。

投稿日時 - 2004-02-17 10:41:14

お礼

ありがとうございます。8はxyzの3次元で考えて
2の3乗のことですかね?

投稿日時 - 2004-02-17 11:55:54

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