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不等式(2)

すみません。「不等式」で投稿した問題が間違っていました。ご指摘、ありがとうございます。
一応、問題文をすべて書きます。

xについての次の不等式がある。ただし、aは0でない定数とする。
3x+1≧x-3
x+10/3>x+1 この二つの式で(1)
a(x-2)(x-a)>0…(2)

(1)連立方程式(1)を解け。
(2)a=-3のとき、不等式(2)を解け。また、a=√2のとき、不等式(1)、(2)を同時に満たす整数xをすべて求めよ。
(3)不等式(1)、(2)を同時に満たす正の整数xがちょうど1個あるようなaの値の範囲を求めよ。


(1)は計算して答えが-2≦x<7/2とでました。
(2)は前の問題の答えが-3<x<2、後の問題は解法がわかりません。
(3)も(2)の後半と同様に解法からわかりません。

(2)の後の問題と(3)の問題の解法を教えてください。よろしくお願いします。
また、「不等式」で投稿した問題の入力ミス、本当にすみません。

投稿日時 - 2012-12-09 11:01:21

QNo.7836632

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回答(5)

ANo.5

ANo.4に上書きしていきます。

-2≦x<7/2とa(x-2)(x-a)>0の解の共通部分を考えます。

a(x-2)(x-a)>0の解については場合わけが必要です。それぞれの場合について-2≦x<7/2との共通部分を考えて題意を満たすaはどのような範囲になるかを数直線でも見ながら確認します。

i a>0のとき
 両辺をa(a>0)で割ると、
 (x-2)(x-a)>0

ここでさらに場合わけがいります。ざっくりいうとaが2より小さいか2か2より大きいかです。
 i-1 a<2のとき、すなわち0<a<2のとき、
    x<a,2<x
 
   これと-2≦x<7/2との共通部分をとると-2≦x<aまたは2<x<7/2となります。2<x<7/2の中にx=3という正の整数が1個あるので、-2≦x<aの中には正の整数があってはいけません。そのようなaの値のとる範囲を考えると、a≦1となります。今0<a<2の範囲で考えているので、0<a≦1となります。 

i-2 a=2のとき
    (x-2)^2>0より、
    解はx=2以外のすべての実数(x<2,2<x)

    これと-2≦x<7/2との共通部分をとると-2≦x<2または2<x<7/2となります。正の整数は-2≦x<2の中にx=1、2<x<7/2の中にx=3の合計2個あるのでa=2という条件は不適。  

 i-3 a>2のとき
    x<2,a<x
  
    これと-2≦x<7/2との共通部分をとると-2≦x<2またはa<x<7/2(aが7/2より大きくなると共有部分なし)。正の整数は-2≦x<2の中にx=1と1個すでにあります。a<x<7/2(aが7/2より大きくなると共有部分なし)の部分に正の整数がなければ題意を満たす。そのようなaの範囲はa≧3

ii a<0のとき、
 両辺をa(a<0)で割ると、
 (x-2)(x-a)<0
 a<x<2
  
 これと-2≦x<7/2との共通部分をとるとa<x<2(aが-2より小さいとき-2≦x<2)。この範囲にはx=1しか正の整数はないのでa<0はすべて題意を満たす。

i-1からiiをまとめると、a<0,0<a≦1,a≧3が題意をみたすaの範囲ということになります。


i-1の場合にはどんな図で考えたかを貼り付けておきます。
i-2からiiも同じような図を書いて考えます。参考にしてください。

大変申し訳ございませんが、この投稿に添付された画像や動画などは、「BIGLOBEなんでも相談室」ではご覧いただくことができません。 OKWAVEよりご覧ください。

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投稿日時 - 2012-12-09 17:09:02

ANo.4

>-2≦x<√2と2<x<7/2の共通範囲だから ←「ここ-2≦x<7/2とx≦√2,2<xとの共通範囲だから」ですね?
>-2≦x<√2,2<x<7/2の範囲になり、
>x=-2,-1,0,1,3になりますね!

これでOKです。

--------------------
(3)これも(2)と考え方は同じですが、ちょっと面倒です。
というのは(2)の2次不等式の解をaによって場合わけして考える必要があるからです。

(1)の範囲は
>(1)は計算して答えが-2≦x<7/2とでました。

これとa(x-2)(x-a)>0…(2)の解との共通部分を考えます。

その前に
a(x-2)(x-a)>0の解について考えます。
まずはa>0とa<0で場合わけが必要です。(∵x^2の前の係数が正か負かで不等号の向きが変わってくるので)

i a>0のとき
 両辺をa(a>0)で割ると、
 (x-2)(x-a)>0

ここでさらに場合わけがいります。ざっくりいうとaが2より小さいか2か2より大きいかです。
 i-1 a<2のとき、すなわち0<a<2のとき、
    x<a,2<x

i-2 a=2のとき
    (x-2)^2>0より、
    解はx=2以外のすべての実数

 i-3 a>2のとき
    x<2,a<x

ii a<0のとき、
 両辺をa(a<0)で割ると、
 (x-2)(x-a)<0 ←不等号の向きが変わります
 a<x<2 ←この場合には2<x<a等は考える必要はありません。なぜならa<0と最初に仮定しているのでaが2より大きいことを考える必要はないので。

これがわかったらあとは数直線でも描いて(1)との共通部分をとったとき正の整数が1個になるようなaの範囲を決めます。

続きはのちほど。

投稿日時 - 2012-12-09 13:37:47

ANo.3

>-3<x<2とx<√2,2<xの共通範囲は-3<x<√2で同時に満たす整数はx=-2,-1,0,1
この範囲ならOKですが、
問題文は(1)とx<√2,2<xの共通部分ではありませんか?

そうすると-2,-1,0,1,3になると思います。確認してください。

投稿日時 - 2012-12-09 13:09:33

お礼

回答、ありがとうございます。
その通りですね!問題文を読み間違えました。
ということは…
-2≦x<√2と2<x<7/2の共通範囲だから
-2≦x<√2,2<x<7/2の範囲になり、
x=-2,-1,0,1,3になりますね!

投稿日時 - 2012-12-09 13:21:32

ANo.2

>x+10/3>x+1はタイプミスではないようです。
>ご指摘ありがとうございました_(._.)_

>また、(2)は√2<x<2であっているでしょうか?

これ(x+10)/3>x+1ですね。


(2)は
√2(x-2)(x-√2)>0
(x-2)(x-√2)>0

添付図を見てください。
これからx<√2,2<xであることがわかります。

お礼欄より、
>↑補足の(2)の答えが間違っています。すみません。
>(2)の答えはx<√2,2<xです。間違っていたら訂正お願いします。

OKです。補足欄からの訂正を書いてしまったのでそのまま投稿します。参考にしてください。

あとは(1)との共通部分を数直線を使ってで求めてその中にある整数値を取り出します。

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投稿日時 - 2012-12-09 12:37:51

補足

回答、ありがとうございました。
-3<x<2とx<√2,2<xの共通範囲は√2<x<2であっているでしょうか?

間違っていたら、ご指摘、よろしくお願いします。

投稿日時 - 2012-12-09 12:52:43

お礼

↑補足、間違っています。何度もすみません。
-3<x<2とx<√2,2<xの共通範囲は-3<x<√2で同時に満たす整数はx=-2,-1,0,1

これでいいでしょうか?何度もすみません。

投稿日時 - 2012-12-09 13:02:29

ANo.1

>x+10/3>x+1
タイプミスだと思うのですが、確認してください。

(2)は
2次不等式√2(x-2)(x-√2)>0を解いて、
(1)の解との共通部分をとる(数直線を書いてみてください)と求まります。

投稿日時 - 2012-12-09 11:41:27

補足

x+10/3>x+1はタイプミスではないようです。
ご指摘ありがとうございました_(._.)_

また、(2)は√2<x<2であっているでしょうか?
間違っていたら、訂正よろしくお願いします_(._.)_

投稿日時 - 2012-12-09 12:05:51

お礼

↑補足の(2)の答えが間違っています。すみません。
(2)の答えはx<√2,2<xです。間違っていたら訂正お願いします。入力ミスが多くてすみません。

投稿日時 - 2012-12-09 12:08:15

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