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解決済みの質問

【数学】2次方程式どうしの足算、引算

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立方程式は2つの式の文字がどちらも一定であるという前提があって成り立つわけじゃないですか。でもこの場合はxがそれぞれまったく別の数字だから足したりひいたりするのは不可能なのでは」
というのが私の意見なのですが…(この場合は連立方程式とは関係がないのかもしれませんが)

以上が質問の内容です。
長くなってしまいごめんなさい。まとめると

文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか?

ということです。

本当に初歩的な質問だとは思いますが回答していただけるとうれしいです。

投稿日時 - 2013-01-25 18:47:19

QNo.7910479

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

連立方程式を加減法で解く際に、2つの式を縦に並べて足し算(または引き算)しますよね?
それが「2つの方程式を足したり引いたりする」ということです。

ですから、文字が1種類の方程式同士を足したり引いたりすることももちろんできます。
ただし、【連立方程式であることが条件】です。
質問者さんの言葉を使うならば、
「2つの式の文字がどちらも一定であるという前提」が成り立っている必要がある、ということです。


(1)と(2)が連立方程式である場合は、「(1)のxも(2)のxも同じ」はずです。
この場合は足したり引いたりすることは可能です。(解があるかどうかは別として)
しかし、(1)と(2)が連立方程式でない場合は、(1)のxと(2)のxは別物ですから、
足したり引いたりすることはできません。

投稿日時 - 2013-01-25 19:38:28

お礼

胸のもやが晴れました。
私が気になっていたことに分かりやすく迫った回答です。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-01-28 18:05:02

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回答(3)

ANo.3

> 連立方程式は2つの式の文字がどちらも一定であるという前提があって成り立つわけじゃないですか。
> でもこの場合は x がそれぞれまったく別の数字だから足したりひいたりするのは不可能なのでは

連立方程式というのは、各式の同じ未知数に同じ値が入る式の組のこと
ですから、x は同じ値であって、「それぞれまったく別の数字」ではありません。
x が同じ値だから、式を足し算引き算することが可能なのです。

正確には、方程式を足し算引き算するのではなく、
方程式の左辺同士右辺同士を足し算引き算するのですがね。
f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) のとき
f(x)+g(x)=a(x)+b(x) も f(x)-g(x)=a(x)-b(x) も
どちらも成り立ちます。

ただし、f(x)+g(x)=a(x)+b(x) だけから
f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) を導くことはできないので、
( f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) ) ⇒ f(x)+g(x)=a(x)+b(x)
の ⇒ は一方通行であって、f(x)+g(x)=a(x)+b(x) の解が全て
f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) の解だとは限りません。

> 2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない

は、そのことを言っているのでしょう。

> 方程式を足したり引いたりしてできる方程式の解以外は、元の連立方程式の解にはならないが、
> 足したり引いたりしてできた方程式の解が、全て元の方程式の解であるとは限らない。

とでも言ったほうが正確でしょうか。

投稿日時 - 2013-01-25 19:44:07

お礼

実際に条件に合う方程式を作って確かめてみたところ、あなたの回答に適合する結果が得られました。
回答ナンバー2の方の回答を合わせて読み理解が深まりました。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-01-28 18:09:47

ANo.1

> 文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか?

おそらく

2x^2-1=0…(1)
x^2-4=0…(2)

を足して

3x^2 - 5 = 0…(3)

を考えたい、ということだと思いますが、そのようなことは(1)(2)を解く上では意味がありません。
共通解があると仮定すれば、共通解kは

2k^2-1=0
k^2-4=0

を同時に満たすはずであり、更にこの場合には

3k^2 - 5 = 0

も満たします。しかし共通解が存在しなければ成り立ちませんし、(3)のもう一つの解は共通解が存在するとしても(1)(2)の解とは偶然以外では一致しません。


(3)の解は、

2x^2-1=α…(1)'
x^2-4=-α…(2)'

になります。このαがどのような数になるかは式次第ですが、(3)の解の一つが(1)(2)と共通の解となる場合には、α=0となります。

投稿日時 - 2013-01-25 19:08:58

お礼

おっしゃる通り共通解の問題のページに載っていた文章です。
他の方の回答と合わせて読み、理解が深まりました。
ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-01-28 18:01:40

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