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【至急】空間ベクトルの問題

明日までの宿題なのですが、答えが分からず不安です
解答(解法)を書いて頂けると助かります・・・!
どうぞよろしくおねがいします<m(__)m>


四面体OABCがあり、

OA=OC=AC=1, OB=2,
BC=√3, ∠AOB=90°

である。

また、三角形OABを含む平面をαとし、
点Cを通りαに垂直な直線とαの交点をHとする。

さらに、OAベクトル=aベクトル, OBベクトル=bベクトル, OCベクトル=cベクトル とする。

(1)内積 aベクトル・bベクトル 、bベクトル・cベクトル、 cベクトル・aベクトル の値を求めよ。

(2)OHベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。また、線分CHの長さを求めよ。

投稿日時 - 2013-02-03 23:16:30

QNo.7926743

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回答(5)

ANo.5

(1)内積 aベクトル・bベクトル 、bベクトル・cベクトル、 cベクトル・aベクトル の値を求めよ。
>ベクトルを↑で、内積を↑・↑で表します。
↑a・↑b=1*2*cosπ/2=0・・・答
△OBCでOB^2=OC^2+BC^2が成り立つから∠C=π/2、OC/BC=1/2から
∠O=π/3、よって↑b・↑c=2*1*cosπ/3=1・・・答
△OACは正三角形だから↑c・↑a=1*1*cosπ/3=1/2・・・答
(2)OHベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。また、線分CHの長さを求めよ。
>点O、A、B、Hは同一平面上にあるので、s,tを実数として
↑OH=s↑a+t↑bとおくと↑CH=↑OH-↑c=s↑a+t↑b-↑c
↑CHと↑a、↑CHと↑bはそれぞれ直交するので、
↑CH・↑a=(s↑a+t↑b-↑c)・↑a=s|↑a|^2+t↑a・↑b↑-↑c・↑a
=s-1/2=0からs=1/2
↑CH・↑b=(s↑a+t↑b-↑c)・↑b=s↑a・↑b↑+t|↑b|^2-↑b・↑c
=4t-1=0からt=1/4
よって↑OH=(1/2)↑a+(1/4)↑b・・・答
↑CH=↑OH-↑c=(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c
|↑CH|^2=↑CH・↑CH
={(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c}・{(1/2)↑a+(1/4)↑b-↑c}
=(1/4)|↑a|^2+(1/8)↑a・↑b-(1/2)↑a・↑c+(1/8)↑b・↑a
+(1/16)|↑b|^2-(1/4)↑b・↑c-(1/2)↑c・↑a-(1/4)↑c・↑b+|↑c|^2
=(1/4)|↑a|^2+(1/4)↑a・↑b-↑a・↑c+(1/16)|↑b|^2
-(1/2)↑b・↑c+|↑c|^2
=(1/4)-(1/2)+(1/4)-(1/2)+1=1/2
よってCH=1/√2=√2/2・・・答

投稿日時 - 2013-02-04 20:58:26

ANo.4

ANo.2です。 済みません。最後のところ、

>よって、|CH|=√2/2

でお願いします。

投稿日時 - 2013-02-04 15:44:12

ANo.3

(1)内積 a↑・b↑ 、b↑・c↑、 c↑・a↑ の値を求めよ。
a↑・b↑=1*2*cos90°=0
b↑・c↑=2*1*{2^2+1^2-3}/(2*2*1)=1
c↑・a↑=1*1*cos60°=1/2

(2)OH↑をa↑、b↑を用いて表せ。また、線分CHの長さを求めよ。
OH↑=pa↑+qb↑(p>0,q>0)...(A)とおくと

OH↑⊥CH↑,CH↑=OH↑-OC↑より
(pa↑+qb↑)・(pa↑+qb↑)-(pa↑+qb↑)・c↑
=p^2+4q^2-p/2-2q(1+4-3)/4
=p^2+4q^2-p/2-q=0 …(B)

a↑⊥CH↑,CH↑=OH↑-OC↑より
a↑・(OH↑-OC↑)=a↑・(pa↑+qb↑)-a↑・c↑
=p-(1/2)=0
p=1/2 ...(C)
(B)に代入
(1/4)+4q^2-(1/4)-q=0
q(4q-1)=0
q>0より
q=1/4 ...(D)
(C),(D)を(A)に代入して
∴OH↑=(1/2)a↑+(1/4)b↑
OH^2=OH↑・OH↑=((1/2)a↑+(1/4)b↑)・((1/2)a↑+(1/4)b↑)
=(1/2)^2*a^2+(1/4)^2*b^2 (∵a↑・b↑=0)
=(1/2)^2*1^2+(1/4)^2*2^2=1/4+1/4=1/2
∴OH=1/√2

∴CH=√(OC^2-OH^2)=√(1-(1/2))=1/√2

投稿日時 - 2013-02-04 14:09:58

ANo.2

>四面体OABCがあり、>OA=OC=AC=1, OB=2, BC=√3, ∠AOB=90°である。
>また、三角形OABを含む平面をαとし、
> 点Cを通りαに垂直な直線とαの交点をHとする。
>さらに、OAベクトル=aベクトル, OBベクトル=bベクトル, OCベクトル=cベクトル とする。

>(1)内積 aベクトル・bベクトル 、bベクトル・cベクトル、 cベクトル・aベクトル の値を求めよ。
∠AOB=90°より、cos∠AOB=cos90°=0 だから、a・b=|OA|・|OB|・cos∠AOB=0

△OBCは、OC:OB:BC=1:2:√3の直角三角形だから、∠BOC=60°cos∠BOC=cos60°=1/2
よって、b・c=|OB|・|OC|・cos∠BOC=2・1・(1/2)=1

OA=OC=AC=1より、△OACは正三角形だから、∠AOC=60°cos∠AOC=cos60°=1/2
よって、c・a=|OC|・|OA|・cos∠AOC=1・1・(1/2)=1/2

>(2)OHベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。また、線分CHの長さを求めよ。
点Hと点Aを結んだ直線とOBの交点をIとする。
OI:IB=s:1-s とおくと、
AI=(1-s)AO+sAB=(s-1)OA+s(OB-OA)=-a+sb
A,H,Iは一直線上にあるから、AH=mAI とおける。
よって、OH-OA=m(-a+sb)=-ma+msb より
OH=(1-m)a+msb ……(*)

CH⊥△OABだから、CH⊥OA,CH⊥OB より、CH・OA=0,CH・OB=0
CH・OA=(OH-OC)・OA=OH・OA-OC・OA=OH・OA-(1/2)=0 より、
OH・OA=1/2 (*)より、
{(1-m)a+msb}・a=1/2より、(1-m)|a|^2+ms(b・a)=(1-m)・1+ms・0=1/2
1-m=1/2 より、m=1/2
CH・OB=OH・OB-OC・OB=OH・OB-1=0より、OH・OB=1
{(1-m)a+msb}・b=1より、(1-m)(a・b)+ms|b|^2=(1-m)・0+ms・4=1
4ms=4・(1/2)・s=1 より、s=1/2
よって、(*)より、OH=(1/2)a+(1/4)b

CH=OH-OC=(1/2)a+(1/4)b-c
|CH|^2=|(1/2)a+(1/4)b-c|^2
=(1/4)|a|^2+(1/16)|b|^2+|c|^2+2・(1/2)・(1/4)・(a・b)-2・(1/4)・(b・c)-2・(1/2)・(c・a)
=(1/4)・1+(1/16)・4+1+(1/4)・0-(1/2)・1-1・(1/2)
=1/2 より、
よって、|CH|=1/4

計算を確認してみてください。

投稿日時 - 2013-02-04 12:20:26

ANo.1

面倒なので、aベクトルのことを単にaのように書きますね。

(1)
a⊥b⇒a・b=0
△OACは正三角形ですので、∠AOC=60°よりc・a=1×1×cos60°=1/2
△OBCは3辺が分かっているので、余弦定理からcos∠BOC=1/2つまり∠BOC=60°です。
(因みに1:2:√3からも60°が出せます。)
よってb・c=1×2×cos60°=1

(2)
CH⊥αから、CH⊥a、CH⊥bが成り立ちます。
よって、CH・a=0、CH・b=0ですね。OH=sa+tbとでもおくと、(sとtはベクトルではありませんよ。)
CH=OH-OC=sa+tb-cですから、
CH・a=s|a|^2+ta・b-a・c、CH・b=sa・b+t|b|^2-b・c(展開の要領。ただし、2乗は大きさの2乗。)
あとは(1)の値、及び長さを代入するとs=1/2、t=1/4が出てきますので、
OH=(1/2)a+(1/4)b

CH=(1/2)a+(1/4)b-cこれを平方して計算してください。

(2)はとても大事です。
垂直・・・内積が0(2行目)
4点OABHが同一平面上・・・OH=sOA+tOB(2行目)
基点が揃っていない・・・AB=OB-OAを利用して基点をそろえる(3行目)
ベクトルを含む式の展開方法(4行目)
大きさ・・・2乗して求める
いずれも、ベクトルの問題では定番の事柄です。逆にこの5つの事項をしっかりマスターしていれば、ベクトルの問題で難儀することはないと思います。(あと知っておくべきことは、3点1直線上の成立条件くらいです。)

すいません。時間の関係上、今日はここまでにさせていただきます。
疑問点が残っているようなら、また質問してください。

投稿日時 - 2013-02-04 01:10:54

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