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関数fn(x)を

fn(x)=1+x+x^2/2+…+x^n/n(n=1,2,3,…)で定める
nが偶数の時、xの方程式fn(x)=0は実数解を持たないことを示せ

回答を見ると

f'n(x)=1+x+…x^(n-1)=
>0(x≧0)
(1-x^n)/(1-x)(x<0)

となっていました
f'n(x)=1+x+…x^(n-1)となるのは分かります
しかし、何故x≧0で1+x+…x^(n-1)>0となるのかわかりません
今回a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^(n-1)のa=1、r=xの場合ですよね
a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^(n-1)は公式より、a(1-r^n)/(1-r)で、これが成り立たないのはr=1の場合のみのはずです
従って今回の場合は

1+x+…x^(n-1)=
(1-x^n)/(1-x)(x≠1)
n(x=1)

となるはずです
しかし回答ではそうなっていません
これは何故なのでしょうか?

投稿日時 - 2013-02-16 16:31:57

QNo.7948313

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回答(1)

ANo.1

式変形は質問者様の通りです.

この問題は「f_n(x)=0が実数解をもたない」ことを示したいのです.目的があります.

>f'n(x)=1+x+…x^(n-1)=
>>0(x≧0)
>(1-x^n)/(1-x)(x<0)

の部分ですがこれは正確には

f_n'(x)=1+x+…x^(n-1)>0(x≧0)
f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)>0(-1<x<0)
f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)=0(x=-1)
f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)<0(x<-1)

ということでしょう.つまりf_n(x)はx=-1で極小かつ最小になるのです.その最小値は

f_n(-1)=1-1+(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+…+(1/(n-2)-1/(n-1))+1/n>0
※n=2のときは()部分はなし

ですから常にf_n(x)>0となりf_n(x)=0は実数解をもたないのです.これを言いたいのです.

投稿日時 - 2013-02-16 17:26:11

お礼

そういう意図があったんですね
回答ありがとうございました

投稿日時 - 2013-02-16 18:14:34

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