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解決済みの質問

ロピタルの定理を使った問題について

この3つ問題が分かりませんでした。 教えてください宜しくお願いします。
途中まで解いたのですが、そこから進みません。回答と違ってしまいます。

(1)lim[x→∞] logx/e^x

=(1/x) / e^x

(2)lim[x→+0] x logx^2

= (logx^2) / (1/x)

(3)lim[x→∞] xe^(1-x)


全ての回答がゼロです。

投稿日時 - 2013-02-28 23:53:38

QNo.7969899

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

(1)
lim[x→∞] (log x)/e^x = (1/x) / e^x じゃなく、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] (1/x) / e^x でしょう?

lim[x→∞] (1/x) = 0, lim[x→∞] e^x = ∞ なのだから、
lim[x→∞] (1/x) / e^x = 0 です。
ロピタルの定理は、不用意に便利過ぎて、摘要条件や
ひどい場合は使い方すら理解せずに、何となく運用している人が
少なくありません。だから、必要も無いときにやたらと使うな…
と、機会あるごとに書いているのですが。

この例も、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] { (log x)/x }{ x/e^x }
で処理できます。

(2)
lim[x→+0] x log(x^2) = 2 lim[x→+0] x log(x)
= 2 lim[y→∞] -y/e^y  ←{y = -log(x) で置換}

(3)
lim[x→∞] xe^(1-x) = lim[x→∞] xe/e^x

lim[x→∞] x/e^x が解らなければ重篤ですが、
証明を要するということであれば、e^x のマクローリン展開を
途中で打ち切って e^x < 1 + x + x^2/2 から
0 < x/e^x < x/(1 + x + x^2/2) とハサミウチにできます。

lim[x→∞] (log x)/x = lim[z→∞] z/e^z も、同じことですね。

投稿日時 - 2013-03-01 21:08:04

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。ロピタルの定理、とりあえず分からずに使っていました。理解が深まりました。

投稿日時 - 2013-03-02 01:38:44

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回答(4)

ANo.3

>全ての回答がゼロです。
回答 ×
解答 ○
全ての解答はゼロで合っています。

(1)lim[x→∞]log(x)/e^x
∞/∞型なのでロピタルの定理を適用
=lim[x→∞](1/x) / e^x
=lim[x→∞]1/(xe^x) ←1/∞型
=0

(2)lim[x→+0] xlog(x^2)  ←xを分母に持っていく
=lim[x→+0]log(x^2)/(1/x)
-∞/∞型なのでロピタルの定理適用して
=lim[x→+0](2x/x^2)/(-1/x^2) ←約分
=-2lim[x→+0]x ← 0型


(3)lim[x→∞]xe^(1-x)
=lim[x→∞]xe/e^x
= e lim[x→∞]x/e^x
∞/∞型なのでロピタルの定理適用して
= e lim[x→∞] 1/e^x ←1/∞型

投稿日時 - 2013-03-01 02:11:30

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。嬉しいことに、だんだんと分かってきました。

投稿日時 - 2013-03-02 01:35:04

ANo.2

あ, (2) は (logx^2) / (1/x) のままいきゃいいんだ.

投稿日時 - 2013-03-01 01:55:56

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。

投稿日時 - 2013-03-02 01:35:32

ANo.1

(1) (1/x)/e^x = 1/(xe^x)
(2) log x^2 = 2log x
(3) xe^(1-x) = ex/e^x

投稿日時 - 2013-03-01 00:17:02

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。

投稿日時 - 2013-03-02 01:35:20

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