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数学の次の問題の解き方と解答を教えてください。

数学の次の問題の解き方と解答を教えてください。
(1)x>0,y>0,x+y=1のとき,(1+1/x)(1+1/y)の最小値を求めよ.

(2)x>0,y>0,3/x+2/y=1のとき,2x+3yの最小値を求めよ.また,最小値をとるときのx,yの値を求めよ.

お願いします。

投稿日時 - 2013-04-06 21:18:55

QNo.8030682

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質問者が選んだベストアンサー

#2です。

A#2の(2)別解
2x=X,3y=Y...(A)とおくと
「x>0,y>0,3/x+2/y=1」

X>0,Y>0 ...(B)
6/X+6/Y=1 ⇒ X+Y=XY/6 ...(C)
(B)より相加平均・相乗平均の関係を適用して
Z=2x+3y=X+Y≧2√(XY) ...(D)
等号はX=Yの時成立。
X=Yのとき(C)より 2X=X^2/6
X^2-12X=0 ⇒ X(X-12)=0
(A)より X>0 ∴X=12=Y...(E)
このとき(D)は
 Z≧2√(12*12)=24 ...(F)
従って
Z=2x+3yの最小値=24
最小値をとる時のx、yは(A),(E)より
 x=12/2=6,y=12/3=4
となる。
 
(2)[グラフ的に解く別解]
3/x+2/y=1(x>0,y>0)...(a)
のグラフは添付図の青い曲線のようになります。
Z=2x+3y...(b)のx,yは(a)のグラフ上の点であるから
(b)の直線のグラフが(a)のグラフと交わるようなZの範囲を求めればよい。交点を持つようなZ=2x+3yの直線のグラフは添付図の黒や赤線のようになり、グラフから、Z>24の時異なる2交点をもつ(黒線グラフ)。Z=24の時直線(b)のグラフ(赤線グラフ)は(a)のグラフに接します。この時の接点(x,y)が
(6,4)となります。
従って Z≧24(最小値=24)で最小値をとるときの(x,y)=(6,4)
となる。

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投稿日時 - 2013-04-07 05:35:54

ANo.3

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回答(3)

ANo.2

(1)x>0,y>0,x+y=1のとき,
(1+1/x)(1+1/y)=(x+1)(y+1)/(xy)
=(xy+x+y+1)/(xy)
=1+(x+y+1)/(xy) ← x+y=1を代入
=1+(2/(xy))
相加平均・相乗平均の関係より
√(xy)≦(x+y)/2=1/2
0<xy≦1/4 (等号はx=y=1/2の時)
より
1/(xy)≧4
1+2/(xy)≧9
故に、
最小値は9,この時のx,yは x=y=1/2

(2)
x>0,y>0,
3/x+2/y=1 …(A)
の時
(A)の分母を通分
(3y+2x)/(xy)=1
xy=2x+3y
相加平均、相乗平均の関係より
xy≧2√(2x3y)=2√6√(xy)
√(xy)(>0)で割って
 √(xy)≧2√6
 xy≧24
(等号は 2x=3y,xy=24 すなわち x=6,y=4のとき)
最小値は24,この時のx,yは x=6,y=4

投稿日時 - 2013-04-06 23:06:05

ANo.1

(1)x>0,y>0,x+y=1のとき,(1+1/x)(1+1/y)の最小値を求めよ.

z=(1+1/x)(1+1/y)=(x+1)(y+1)/xy=(xy+x+y+1)/xy=(2+xy)/xy=1+2/xy

x>0,y>0であって相加相乗平均の関係により

√xy≦(x+y)/2=1/2

xy≦1/4

=はx=y=1/2のとき成り立つ、このときxyは最大値1/4をとる。

従って

z=1+2/xyは最小値9をとる。

(2)x>0,y>0,3/x+2/y=1のとき,2x+3yの最小値を求めよ.また,最小値をとるときのx,yの値を求めよ

3/x+2/y=1より

3y+2x=xy

z=2x+3y=xyを考えればよい。

x>0,y>0であって相加相乗平均の関係により

z=2x+3y=xy≦(x+y)^2/4

=はx=yのとき成立

この時3/x+2/y=1より

x=y=5

z=xyは最大値25をとる。

(最小値は問題の間違い)

投稿日時 - 2013-04-06 21:55:28

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