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楕円(x/a)^2 + (y/b)^2

(a>b>0)の接線が両座標軸によって切り取られる線分の長さを求めよ
接線とy軸の交点をA、x軸との交点をB、接点を(x1,y1)としたとき、AB^2={(a^2/x1)^2 + (b^2/y1)^2}*1={(a^2/x1)^2 + (b^2/y1)^2}*{(x1/a)^2 + (y1/b)^2}≧(a+b)^2(∵コーシーシュワルツの不等式)
minAB=a+b
となるのは分かったのですが、解答にはコーシーシュワルツの不等式)とよってminAB=の間に
よって(a^2/x1,b^2/y1)//(x1/a,y1/b)のとき
という一文が追加されているのです
そもそも点の座標が平行の意味が分かりませんし、調べてみましたがコーシーシュワルツの不等式にこのような条件はありませんでした
これは何なのでしょうか?

投稿日時 - 2013-04-11 14:43:20

QNo.8038129

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#1です。

>ただ結局(a^2/x1,b^2/y1)//(x1/a,y1/b)って何なんですか?

ベクトル(a^2/x1,b^2/y1)とベクトル(x1/a,y1/b)とが平行という意味ですね。
比の形にしたいなら、

a^2/x1:b^2/y1=x1/a:y1/b
とか
a^2/x1:x1/a=b^2/y1:y1/b
とかですね。

わりとごちゃごちゃしてるので、ベクトルの内積をからめて幾何学的に理解
するのがお薦めです。

シュワルツの不等式と等号成立の証明はたぶん教科書に載ってるような
気がしますが、URLを載せておきます。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/syoumei/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suu-to-siki/syoumei/syuwarutunofutousiki.html

投稿日時 - 2013-04-13 04:50:39

お礼

分かりました
ありがとうございました

投稿日時 - 2013-04-13 15:44:44

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回答(4)

>調べてみたらa : b = x : yみたいですが(a^2/x1,b^2/y1)//(x1/a,y1/b)と関係があるのでしょうか

ベクトルとしての表記では?
(a, b)と(x, y)をベクトルとすると、a : b = x : yは平行条件ですね。
まあ普通は列(縦)ベクトルでかきますけど。

投稿日時 - 2013-04-12 17:52:04

お礼

分かりました
ありがとうございました

投稿日時 - 2013-04-13 15:44:31

ANo.2

「コーシーシュワルツの等号成立条件」は分かりますか?

投稿日時 - 2013-04-12 13:29:44

補足

調べてみたらa : b = x : yみたいですが(a^2/x1,b^2/y1)//(x1/a,y1/b)と関係があるのでしょうか

投稿日時 - 2013-04-12 16:08:19

問題文がおかしいです。
「楕円(x/a)^2 + (y/b)^2」というのは
「楕円(x/a)^2 + (y/b)^2=1」の書き損じですか?
そして、「線分の長さを求めよ 」というのは
「線分の長さの最小値を求めよ」の書き損じですか?

>よって(a^2/x1,b^2/y1)//(x1/a,y1/b)のとき

これはコーシー・シュワルツの不等式の等号条件です。

|AB|≧a+b

だけでは、|AB|がa+b以上であるということしか言えていません。
最小値がa+bになるにはそういうx1,y1が存在することを言う必要
があります。

投稿日時 - 2013-04-11 20:49:19

補足

書き損じについてはその通りです
すみませんでした
そういうx1、y1がなければならないのは分かりました
ただ結局(a^2/x1,b^2/y1)//(x1/a,y1/b)って何なんですか?

投稿日時 - 2013-04-12 11:55:43

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