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数学B

数学B
平行四辺形OABCにおいてOAベクトル=aベクトル およびOBベクトル=bベクトルとする。ABを2:1に内分する点をPとし、BCを4:1に外分する点をQとするとき、PQベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。
という問題があります。

OPベクトルはaベクトル+2/3ベクトル
OQベクトルは(1/3aベクトル)+bベクトル
という結果になってしまいました…
これを計算すると
PQベクトル=-2/3aベクトル+1/3bベクトル
になりました。
しかし、答えは-5/3aベクトル+1/3bベクトルです。(解説がなくて間違っているところさえわかりません…)

たぶん間違えているのは()のところだと思うのですが…
けど、なぜこういう風な答えになるのかわかりません…
誰か教えてください。よろしくお願いします。

投稿日時 - 2013-04-14 22:23:05

QNo.8043275

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回答(4)

ANo.4

内分外分の公式は、暗記するよりも、
その場で作ったほうが間違いにくい。
P なら直線 AB の図
Q なら直線 BC の図を書いて考える。

図から
ベクトルAP = (2/(2+1))ベクトルAB
を読み取って、
ベクトルOP = ベクトルOA + ベクトルAP
= ベクトルOA + (2/3)(ベクトルOB - ベクトルOA)
= (1 - 2/3)ベクトルOA + (2/3)ベクトルOB
= (1/3)ベクトルOA + (2/3)ベクトルOB
= (1/3)ベクトルa + (2/3)ベクトルb.

図から
ベクトルBQ = (4/(4-1))ベクトルBC
を読み取って、
ベクトルOQ = ベクトルOB + ベクトルBP
= ベクトルOB + (4/3)(ベクトルOC - ベクトルOB)
= (1 - 4/3)ベクトルOB + (4/3)ベクトルOC
= (-1/3)ベクトルOB + (4/3)(ベクトルOB - ベクトルOA)
= (-4/3)ベクトルOA + ベクトルOB
= (-4/3)ベクトルa + ベクトルb.

以上を使って、
ベクトルPQ = ベクトルOQ - ベクトルOP = …

投稿日時 - 2013-04-15 13:58:51

お礼

とても詳しくありがとうございました!

投稿日時 - 2013-04-18 23:56:39

ANo.3

OPベクトルはaベクトル+2/3ベクトル
OQベクトルは(1/3aベクトル)+bベクトル
という結果になってしまいました…

>OPベクトルはaベクトル+(2/3)ABベクトルです。
OQベクトルは(-4/3)aベクトル+bベクトルです。
BCベクトルの向きはOAベクトルの向きの逆なので、
BCベクトルはイコール-aベクトルです。
点QはBCを4:1に外分する点なので、BQの長さはBCの長さの
3分の4倍です。
そして、ABベクトルは、bベクトル-aベクトルです。

投稿日時 - 2013-04-15 07:51:06

お礼

わかりました。回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-04-18 23:56:16

ANo.2

OP=1/3 a十2/3b
OQ=―4/3 a+ b

公式に入れてもいいし、例えば
OP=OA+2/3AB=a+2/3(b-a)= 1/3a+2/3 bとしてもいい
そもそもOQのa成分の向きが負になっていない時点で
おかしいという感覚を身につけないと。
例えばOQ= OB+BQ=b-4/3aとしてもいいし。

投稿日時 - 2013-04-15 05:15:23

お礼

言われてみればそうですね。回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-04-18 23:55:49

ANo.1

平行四辺形の図を描いてください。
どの頂点がO, A, B, Cであるかを正確に。

投稿日時 - 2013-04-14 22:58:44

お礼

わかりました。

投稿日時 - 2013-04-18 23:55:09

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