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解決済みの質問

高校数学B; ベクトル 添削

実際の入試で減点されるかどうか不安になったので、(2)の添削をお願いします。

[問] 四面体ABCDがある。点Pが 10PA↑ = PB↑ + 2PC↑ + 3PD↑ を満たしている。

(1) AP↑ を AB↑, AC↑, AD↑ を用いて表せ。
  
  [解答] AP↑ = -(AB↑ + 2AC↑+ 3AD↑)/4 .


(2) 直線APと三角形BCDとの交点をQとしたとき、次の式を満たす実数s, t, k の値を求めよ。
   BQ↑ = sBC↑ + tBD↑
   AQ↑ = kAP↑

  [解答] (1)より AP↑ = -(AB↑ + 2AC↑+ 3AD↑)/4 ...(a)

       BCを2:1に内分する点をEとすると (a) は、
       AP↑ = -{3*(AB↑ + 2AC↑)/3 + 3AD↑}/4
           = -(3AE↑ + 3AD↑)/4
           = -3(AE↑ + AD↑)/4 ...(b)

      EDを2:1に内分する点をFとすると (b) は、
       AP↑ = -3/4 * (2AF↑)
           = -3/2*(AF↑)

      以上により添付図を得る。

      このとき点Fが点Qである。
     ............................................

あとは計算してs, t, kを求めるだけです。
ここで点Fと点Qは一致すると断言して良いのでしょうか。
よろしくお願いします。

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投稿日時 - 2013-06-21 14:21:08

QNo.8143328

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

 まず係数に注目して、点Eを見つける考えはとても良いですね。

 その点から言うと、記入ミスなのか、

  EDを2:1に内分する点をFとすると (b) は、・・・・は間違っていますね。

  カッコ内は、AE↑ + AD↑ですから、EDの中点をFとすると・・・・ですね。

  そして結論の部分ですが、

  AP↑ = -3/4 * (2AF↑)
           = -3/2*(AF↑)

      以上により添付図を得る。・・・・・・・この部分は、

      以上より、3点A、P、Fは、同一直線上にあり、Fは三角形BCD上にあるから、Fが求める点Qである。(参考図)

 と結論付けるのが良いでしょう。添付図は回答の参考図で良いと思います。

  ベクトルの性質から「同一直線上にあり」と言うことが導けるところがポイントですから、「点Fと点Qは一致すると断言して良い」のです。

 以上です。

投稿日時 - 2013-06-21 15:41:27

お礼

短時間での回答ありがとうございます!

すいません、記入ミスで、1:1です。

>3点A、P、Fは、同一直線上にあり、Fは三角形BCD上にあるから
この一文がある方がより強い根拠を示せているようで最高です。

投稿日時 - 2013-06-21 16:03:39

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回答(1)

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