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三角関数の合成

三角関数の合成

π/6≦θ≦5/6πのとき、sin{2θ-(π/6)}-cos2θ の最大値と最小値を求めよと言う問題があります。
この式が √3/2 sin2θ-3/2 cos2θ という式になるのはわかりました。でもここからどのようにして合成するのでしょうか?
三角関数の合成の式が√(a^2+b^2) sin(θ+α) なので√3 sin(2θ+α) になるのはわかるのですがどうやってαの部分を出すのかわかりません… 図を書いて求めようとしたのですがさっぱりで…

どなたか教えてください。よろしくお願いしますm(__)m

投稿日時 - 2013-07-06 21:28:20

QNo.8165362

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質問者が選んだベストアンサー

√3sin(2θ+α) = √3(sin2θcosα + cos2θsinα)

= √3/2sin2θ - 3/2cos2θ

から

cosα=1/2, sinα=-√3/2

となるから、α=-π/3 になります。

従って、

与式 = √3sin(2θ-π/3)

従って、この式は√3sinθの関数の周期を2倍(2θ)にして、θの+方向にπ/3だけ並行移動したものになります。

従って、この図のπ/6≦θ≦5/6πでの最大値、最小値を探すことになります。

最小値は、 θ= 5/6π の時で、-3/2
最大値は、 θ= 5/12π の時で、√3

になります。

投稿日時 - 2013-07-07 00:04:01

お礼

お礼遅くなり申し訳ありません。
そういうことだったんですね!
とてもすっきりしました!!
ありがとうございましたm(_ _)m

投稿日時 - 2013-07-10 21:36:40

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回答(6)

すいません。
どうやら一人で突っ走ってしまったようなので
謝罪の意をこめて以下、変形の過程を記しておきます。

(√3/2) sin(2θ)-(3/2)cos(2θ)
=(√3)[(1/2)sin(2θ)-{(√3)/2}cos(2θ)]
=(√3){cos(π/3)・sin(2θ)-sin(π/3)・cos(2θ)}
=(√3){sin(2θ)・cos(π/3)-cos(2θ)・sin(π/3)}
=(√3)sin{2θ-(π/3)}

大変失礼しました。

投稿日時 - 2013-07-06 23:40:54

お礼

とんでもないです!
ただ私が理解できなかっただけです…
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございましたm(_ _)m

投稿日時 - 2013-07-10 21:37:23

じゃあ別の方向からのヒント:

最終的に
√3 sin(2θ+α)
の形にしたいんだよね。

sin(2θ+α)= ※ …(2)
加法定理を適用すると※の部分はどんな式になる?


さっきの(1)式を√3でくくったカッコの中身と(2)式の※の部分を
よくにらめっこしてごらん。

投稿日時 - 2013-07-06 22:50:25

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

投稿日時 - 2013-07-10 21:37:36

ごめん、ちょっと解りにくい書き方したかな。


ANo.2のヒントは
(1)式を√3でくくったあと、
各項の係数を加法定理が使えるように正弦、余弦を使って表すということ。

投稿日時 - 2013-07-06 22:24:41

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

投稿日時 - 2013-07-10 21:37:47

ヒント:加法定理(各項の係数を変形)

投稿日時 - 2013-07-06 22:11:17

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

投稿日時 - 2013-07-10 21:37:58

> √3/2 sin2θ-3/2 cos2θ …(1)
> √3 sin(2θ+α)

これが同値なのだから
(1)式全体を√3でくくってみたらわかるんじゃない?

投稿日時 - 2013-07-06 21:56:44

お礼

√3でくくったあとどのように考えるのでしょうか?
勉強不足ですいません…

投稿日時 - 2013-07-06 22:07:11