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解決済みの質問

(再)三角関数の不等式が解けません

π<θ<2πのとき、
(2+√3)Sinθ+(1+√3)Cosθ≧|Sinθ| の不等式をとけ


これがとけません。合成がどうもうまい数値にならなくて。。。

よろしくお願いします

投稿日時 - 2013-08-23 13:40:11

QNo.8232155

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質問者が選んだベストアンサー

とりあえず、π < θ < 2π なので、sinΘ < 0 ですから、
与式 ⇔ (2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ ≧ -sinθ ですね。
右辺を移項して、(3+√3)sinθ+(1+√3)cosθ ≧ 0。
両辺を (1+√3) で割って、(√3)sinθ+cosθ ≧ 0。

ここから、「三角関数の合成」をやります。
√{ (√3)^2 + 1^2 } = 2 で両辺を割って、
(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ ≧ 0。
cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2 に気づけば、
与式 ⇔ sin(Θ+π/6) ≧ 0 であることが解ります。

π+π/6 < θ+π/6 < 2π+π/6 より、
sin(Θ+π/6) ≧ 0 の解は 2π ≦ θ+π/6 < (13/6)π 。
(ここは、y = sin x のグラフを眺めて考える。
θ+π/6 = φ とか置いてみると考えやすいかも。)

整理して、2π-π/6 ≦ θ < 2π。

投稿日時 - 2013-08-23 14:51:15

お礼

なるほど、
(3+√3)sinθ+(1+√3)cosθ ≧ 0
からできることっていえば、(3+√3)と(1+√3)との間の関係を考えるしかないですもんね。
で、3=√3×√3に注目ですね。なるほど。

ちなみに
「√{ (√3)^2 + 1^2 } = 2 で両辺を割って」はむずい。。。
単純にヤマカンで自分なら2でわってましたw

ありがとうございます。

投稿日時 - 2013-08-23 15:35:56

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回答(4)

ANo.4

また今回も、そういうまねを…

投稿日時 - 2013-08-27 13:11:08

ANo.3

 (2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧|sinθ| ...(1)
π<θ<2πのとき sinθ<0 なので
 (2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧-sinθ
移項して
 (1+√3)√3sinθ+(1+√3)cosθ≧0
(1+√3)>0で割って
 √3sinθ+cosθ≧0
合成して
 2{sinθ(√3/2)+cosθ(1/2)}≧0
 2sin(θ+(π/6))≧0
π<θ<2πのとき 7π/6<θ+(π/6)<13π/6なので
sin(θ+(π/6))≧0となる範囲は
 2π≦θ+(π/6)<13π/6
∴11π/6≦θ<2π ...(答え)

投稿日時 - 2013-08-23 18:50:05

ANo.2

ふつ~に sin や cos って書けばいいのに, なぜ「Sin」「Cos」と書いているのか.

さておき, まさか左辺をこのまま合成しようなどと思っていませんか?

投稿日時 - 2013-08-23 14:52:33