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解決済みの質問

漸近線と導関数

こんばんは。高校数学について質問があります。

f(x)={x-√(x^2-1)}という関数は、f'(x)=-1/√(x^2-1)となります。
ここでx→∞とすると、f(x)→-∞、f'(x)→0となります。

ここで疑問なのですが、f'(x)が0に近づくときは漸近線をもつのではないのでしょうか?
導関数が0に近づくということは、傾きがだんだん穏やかになっていって無限大のかなたではx軸と平行になってしまうので、超えられない直線、すなわち漸近線が存在するのだと思っていたのですが、この認識は間違っているのでしょうか。。。

導関数が0に近づき、漸近線が存在する関数の例:f(x)=1/x,2^(-x)など。

投稿日時 - 2013-10-31 22:38:38

QNo.8328891

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

イメージとしてはそんなところです. 関数 f(x) の x→∞ における極限
lim(x→∞) f(x)
が定数ならその導関数の x→∞ における極限は 0 になりますが, 逆は必ずしも成り立ちません.

同じように, 数列 {a_n} の和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n の n→∞ の極限 S_∞ を考えると, S_∞ が有限の値であれば a_n の n→∞ の極限は 0 になりますが, 逆に a_n の n→∞ の極限が 0 だからといって S_∞ が有限であるとは限りません.

投稿日時 - 2013-11-01 17:08:09

お礼

なるほど、数列の極限と同じように考えればいいわけですね!
とてもよくわかりました。ありがとうございました!

投稿日時 - 2013-11-01 21:08:24

ANo.4

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回答(4)

ANo.3

りょ~かいっす.

本質的には 0×∞ という不定形の話になると思います. 逆方向で考えると
関数 f(x) が 0→∞ で 0 になるときにその原始関数の x→∞ における値はどうなるか
ということと同じで, これは定積分で考えると
0 に近い値をひじょうにたくさん加えたらどうなるか
ということになります.

まあ, そこまで難しい関数を持ち出すまでもなく f(x) = √x でよかったような気はしますが....

投稿日時 - 2013-11-01 01:38:27

お礼

なるほど!つまり不定形だから、その名の通り極限がどうなるかはわからない、ということでいいでしょうか??

投稿日時 - 2013-11-01 16:04:43

ANo.2

えぇと.... f(x)={x-√(x^2-1)} のどこに対数があるんでしょうか....

投稿日時 - 2013-11-01 00:42:42

お礼

すみません!質問文に誤りがありました!!
f(x)=log{x-√(x^2-1)}
でした。

今までのf(x)はすべてこれに置きかえてください。申し訳ありませんm(__)m

投稿日時 - 2013-11-01 01:11:04

ANo.1

f(x)→-∞ って, 本当?

まあ「f'(x) が 0 に近づく」からといって, 必ずしも漸近線を持つわけじゃないが....

投稿日時 - 2013-10-31 23:56:49

お礼

回答有難うございます。
x-√(x^2-1) はxを無限大に持っていくと0に近づいていくのでこれの対数は無限大へいくと思うのですが・・・。
パソコンのソフトで極限を計算してみてもやはり-∞になりましたが、どこか見過ごしていることがあるのでしょうか??(汗)

投稿日時 - 2013-11-01 00:18:29

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