No.3です。補足拝見しました。

＞ たとえば「右下の丸いスタートボタン」→「コンピューター」→「C」→「ユーザー」の「ユーザー」の中のファイルをすべて新しく買ったHDDに保存しているとパソコンを変えたときなどに保存していた「ユーザー」をそこにドラッグするとお気に入りなどが保存していたデータになるということですか？
はい。Windows 7でバックアップ(正確にはコピー)して、Windows 7に復元した時には、
お気に入り、「ダウンロード」、「デスクトップ」、「マイ ドキュメント」、「マイ ピクチャ」、「マイ ビデオ」、「マイ ミュージック」全て復元されました。
(Windows 7でバックアップ → Windows 8に復元は、わかりません)
メールの内容もコピーで良かったと思いますが、Windows 7 では経験がなく分かりません。

(私はメールソフトにThunder birdを使っているので、その方法なら別途質問を立てて頂ければお答えできますが...。)

バックアップ先にハードディスクを使うなら、IO DATAやバッファローの外付けUSB接続のものがいいと思います。
両社とも初心者～中級者へのサポートが慣れているからです。
またUSBなら今後数年間なくなることのない規格だと思いますし、ほとんどのWindows系PCには装備されているからです。
(値段だけを考えればバルクのベアドライブを買ってきて、玄人志向などの外付けケースを使うのが安い。)

勝手に再起動やブルースクリーンになってしまう原因は分かりません。
わたしだったら、必要なファイルをバックアップして、リカバリしてし、様子を見てそれでも同じ現象が続くようでしたらメーカーにメールなり電話なりしてサポートしてもらいます。

※Windows 7 以降のPCはサポート経験がないので、あくまでもこの回答は経験者の一般的意見という事でお願いします。

投稿日時 - 2013-11-08 06:16:23

＞初期化した後でも今使っているパソコンをバックアップとっておけば同じパソコンでも元通りに復元できるものなんでしょうか？

何をバックアップするのですか？
OSを含んだ領域をバックアップして、復元を行うなら、現在の状態をバックアップされて復元されます。
OSはもちろん、現在のものそのままバックアップされます。
もし、不安定になったものをバックアップして復元したなら、不安定な状態に復元されます

あなたが必用なデータ（個人データ等）なら、そのまま復元されますが、プログラムファイルなどは入れなくてはなりません。

＞また、パソコンを変えても復元できるのでしょうか？

PCが異なると、OSが起動出来ない。よって復元は出来ないと思って下さい。
ただし、個人データのみのバックアップなら、復元出来たりします。

＞やはりハードディスクというものがもう一つ必要になるのでしょうか？

なくても、問題ないがHDDの破損などに対処したいなら、別とHDDがあるのが望ましいです

＞インターネットでお気に入りに入れてるページやメモ帳、インストールしたものなどすべてバックアップすることが可能なのでしょうか？

可能。　Windows7以降なら標準で、Windows Vistaなら、エディションにより異なる
Windows XP以前なら、バックアップソフトが必要となります
LinuxやUnixは標準で出来るものと出来ないものがあります。別とソフトウェアで対応出来る場合とそれでも出来ない場合もあります

投稿日時 - 2013-11-01 20:22:23

「調子が悪い」原因がハードウェアだったら修理で済みますが
何か入れたソフトや設定の問題だった場合、パックアップから
そのまま戻したら「調子が悪い」状態に戻ってしまいます。

TrueImageなどでのバックアップも有用ですが、こういう
「調子の悪い」状態では無意味な場合も有りますので
適当なコピーソフトで全コピーも作成しておく必要が有ります。

投稿日時 - 2013-11-01 18:55:31

元通りに出来るのは、正常な状態でイメージバックアップを取った場合です。ファイル単位のバックアップでは、完全に元雄通りには出来ません。
イメージバックアップは、Acronis True Image等のソフトで可能です。
バックアップ先としてバックアップ元以外のHDDが必要になります。普通は外付けドライブを用意します。

投稿日時 - 2013-11-01 18:07:46