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解決済みの質問

三角関数

「tanθ=-2√2のとき、sinθとcosθを求めよ。」
という問題なのですが、
1+tan^2θ=1/cos^2θの公式を使って
1+8=9よりcos^2θ=1/9
∴cosθ=±1/3
cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
cosθ=-1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
となってしまいました。
答えはcosθ=1/3のとき、sinθ=-2√2/3
cosθ=-1/3のとき、よりsinθ=2√2/3
です。
単位円を書けばわかるのですが、計算としてどうして正負がおかしくなっているのか知りたいです。
計算の途中でやってはいけないことをしていないか、お教えいただきたいと思います。
どうぞよろしくお願いします。

投稿日時 - 2013-11-23 11:59:47

QNo.8358425

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質問者が選んだベストアンサー

 こんにちは、

 式変形は、同値でなければなりません。

 あなたの場合、いきなり

 1+tan^2θ=1/cos^2θの公式を使っていますから、tanθが負であることが、
抜けて飛んでしまいます。

 したがって、この式を使うときに、tanθが負である条件を書き添えねばなりません。

  そして、

 cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
  と出たときに、

 ただしtanθが負であるから、sinθが負であるので sinθ=ー2√2/3

  を書き加えるべきなのです。

 もう一方も同じです。


  やってはいけないのは、「同値変形である条件を書くことを忘れる。」

 です。

投稿日時 - 2013-11-23 13:25:20

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-12-01 12:01:45

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回答(3)

ANo.2

>tanθ=-2√2のとき

tanが負であるということは、すなわち、
sinとcosの符号が相異なる、
つまり、第2・第4象限に関する話をしている、ということです。

投稿日時 - 2013-11-23 13:19:38

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-12-01 12:02:06

ANo.1

>cosθ=1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
計算上そうであっても
cosθ=1/3の時、sinθ=2√2/3
であれば、tan=2√2と成りますから不適。よってsinθ=-2√2
>cosθ=-1/3のとき、sin^2θ+cos^2θ=1よりsinθ=±2√2/3
これも同様です。

また、この問題はわざわざ2倍角の公式を使わなくても
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使えば解けます。

投稿日時 - 2013-11-23 12:31:05

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-12-01 12:02:18