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ピタゴラスの定理 とオイラーの公式の関係

sin^2x+cos^2x=1はピタゴラスの定理の一例だと思いますが、この式をcos^2x-(isinx)^2と変形して(cosx+isinx)(cosx-sinx)=1としてみるとオイラーの公式の右辺と同じ項が出てきますが、ピタゴラスの定理とオイラーの公式の間には何か関係があるのでしょうか。

投稿日時 - 2013-12-10 23:28:36

QNo.8381529

暇なときに回答ください

質問者が選んだベストアンサー

もともとオイラーの公式はピタゴラスの定理とは
関係なく。解析学的なところから出来上がった公式です。

e^(ix)=cosx+isinx・・・・(1)
e^(-ix)=cosx-isinx・・・・・(2)

(1)x(2)
1=cos^2+sin^2・・・・・(3)

(1)式の単位円から
cos^2+sin^2を求めると
=1となる。( (3)式より)

cos^2+sin^2=1・・・(4)
となり、これは単位円に於いてピタゴラスの定理が
成り立つ事を示している。

投稿日時 - 2013-12-12 20:19:19

お礼

やはりどちらが先ということはないのでしょうか。勉強させていただきます。

投稿日時 - 2013-12-13 02:31:51

ANo.7

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回答(9)

ANo.9

>これから、
> sin^2(x) + cos^2(x) = 1
>を容易に導出できるのでしょうか?

これは、いささか食言気味ですね。

「マクローラン展開」の段階ではまだ見えませんけど、オイラーの公式が得られてしまえば、sin^2(x) + cos^2(x) = 1 を容易に導けます。

しかし、「ピタゴラスの定理」の証明に「オイラーの公式」を使ってみせても、多くの人々に理解してもらえるのでしょうか?

…といった程度のコメントでした。

  

投稿日時 - 2013-12-13 12:58:15

お礼

私にはかなり難しいお話でしたが、とにかく勉強してみたいと思います。どうもありがとうございました。

投稿日時 - 2013-12-14 03:06:00

ANo.8

>私見では…「オイラーの公式」の根拠は「ピタゴラスの定理」にあり…です。

これも私見に過ぎませんが…。

オイラーの公式の解析的な導出としてポピュラーなのは、e(x), sin(x), cos(x) のマクローラン展開を並べ、e(ix), sin(ix) を作ってみると
 e(ix) = cos(x) +i*sin(x)
になる、という論法。
これから、
 sin^2(x) + cos^2(x) = 1
を容易に導出できるのでしょうか?

「ピタゴラスの定理」の証明は、やはり幾何的なものがわかり易そうです。

   

投稿日時 - 2013-12-13 11:57:24

お礼

ご教示ありがとうございます。できる限り勉強いたします。

投稿日時 - 2013-12-14 03:07:19

ANo.6

>どちらが先ということがないということでしょうか。

私見では…「オイラーの公式」の根拠は「ピタゴラスの定理」にあり…です。

  

投稿日時 - 2013-12-12 19:35:59

お礼

そうですか。中学くらいの勉強しか身についていないので、ピタゴラスの定理に愛着があります。オイラーの公式の基盤にこの公式があるのならばオイラーの公式にも親しみがわいてきます。ご教示ありがとうございます。

投稿日時 - 2013-12-13 02:35:43

ANo.5

蛇足。

>この単位円が、 Pythagoras の定理を体現しているわけです。

…といっても、それで Pythagoras の定理を証明できる、というものじゃありません。

為念。

   

投稿日時 - 2013-12-12 17:57:33

お礼

どちらが先ということがないということでしょうか。ご教示ありがとうございます。

投稿日時 - 2013-12-12 19:09:42

ANo.4

ANo.3 の続編。

>オイラーの公式
> e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

… が得られたら、複素平面 (u+iv 平面 ふつうは x+iy 平面として図示するけれど x が使用済みなので…) 上に描いてみると?

u+iv 平面にて e^(ix) の座標をみると、実部 u が cos(x) で、虚部 v が sin(x) 。
e^(ix) の点から、たとえば u 軸へ垂線を立てれば、垂線の足から e^(ix) の点までの高さが sin(x) で、垂線の足から 原点 0 までの長さが cos(x) の直角三角形ができる。
e^(ix) の点から原点 0 までの距離は 1 。

したがって、e^(ix) の x を 0 から 2π までスキャンしていくと、e^(ix) の点は単位円を描く。

この単位円が、 Pythagoras の定理を体現しているわけです。

   

投稿日時 - 2013-12-12 16:03:27

ANo.3

>…(cosx+isinx)(cosx-sinx)=1としてみるとオイラーの公式の右辺と同じ項が出てきますが…

オイラーの公式。
 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

{cos(x), sin(x), e^(ix) } は一次従属セット。( {cos(x), sin(x) } は一次独立セット )
           ↓ ならば
e^(ix) = A*cos(x) + B*sin(x) を満たす一意的な (複素) 係数 {A, B} が存在する
…はずなので、勘定してみると…?

というハナシが 参考 URL にあります。
           ↓


   

参考URL:http://www.digistats.net/x/index.php?%A5%AA%A5%A4%A5%E9%A1%BC%A4%CE%B8%F8%BC%B0

投稿日時 - 2013-12-11 13:48:13

お礼

私の理解力では難しすぎますが、勉強いたしてみます。ご教示ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-12-11 16:13:38

ANo.2

ピタゴラスの定理が中学校で習う基礎的な定理とした時
大学で習うオイラーの定理がピタゴラスの定理も含んでいる事を
示している。

投稿日時 - 2013-12-11 11:08:19

お礼

ご教示感謝いたします。

投稿日時 - 2013-12-11 16:14:18

オイラーの公式は、幾何学的には、複素平面の単位円をあらわしています。
なので、オイラーの公式と、ピタゴラスの定理・三平方の定理とには深い関係があります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F



☆(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=1
◇これはですね~、複素平面の点(1,0)───実平面でもいいです───を
角度θ回転した後、
さらに、
角度-θだけ回転、つまり、θだけ逆回転させた
ということをあらわしているんですよ。
なので、元の点(1,0)に戻ってしまった(ニコニコ)。

投稿日時 - 2013-12-11 01:47:07

お礼

なるほど、そうなのですか。勉強になりました。ご教示ありがとうございました。

投稿日時 - 2013-12-11 08:24:02

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