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数学の問題についてです

とある学校に入りたいと思い、独学で勉強をしている社会人です。
過去問をもらい、それをもとに勉強をしているのですが、参考書などを見てもわからない問題があります、、、
他の質問も自分なりに探してみたのですが見つからず、今回質問させていただきました。
恥ずかしながら、いくつかの問題があります。

1つ目
xの2次関数y=x2乗+(2sinθ)x-cosθについて、次の問いに答えなさい。
ただし、0°≦θ≦180°とする。

(1)2次関数のグラフの頂点を求めなさい。
(2)2次関数のグラフの頂点のy座標をYとおくとき、Yの最大値、最小値を求めなさい。また、その時のθの値も求めなさい。

2つ目
aをa>0なる定数とする。2次関数y=-x2乗+2ax+3について次に答えなさい。

(1)2次関数のグラフの頂点を求めなさい。
(2)0≦x≦3aでのyの最大値、最小値、そのときのxの値を求めなさい。
(3)0≦x≦3aでy≧0となるaの範囲を求めなさい。

3つ目
△ABCにおいて、AC=2、∠B=30°、∠C=45°のとき、次の問いに答えなさい。

(1)Aから辺BCに下ろした垂線をAHとするとき、辺AHとするとき、辺AHと辺BHの長さを求めなさい。また、△ABCの面積Sを求めなさい。

辺AH=√2、辺BH=√6、面積S=3√3/4、、、で良いかな、と思います。答えは貰えませんでしたので、、、

△ABC内において、Cを中心に線分ACを半径とする円とBを中心に線分ABを半径とする円の共通部分の面積S”を求めなさい。

数学に詳しい方、先生などおられましたらお答えいただきたいです。
よろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2013-12-24 09:30:07

QNo.8398838

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回答(2)

ANo.2

1つ目
(1)
y=x^2+(2sinθ)x-cosθ, 0°≦θ≦180°
=(x+sinθ)^2-(sinθ)^2-cosθ
∴頂点(-sinθ,-(sinθ)^2-cosθ)

(2)
頂点のy座標Y
Y=-(sinθ)^2-cosθ=(cosθ)^2-1-cosθ
=(cosθ-(1/2))^2-(1/2)^2-1
=(cosθ-(1/2))^2-(5/4)
0°≦θ≦180°より -1≦cosθ≦1であるから
-(3/2)≦cosθ-(1/2)≦(1/2)
0≦(cosθ-(1/2))^2≦(3/2)^2=9/4
-(5/4)≦Y=(cosθ-(1/2))^2-(5/4)≦1
よって
cosθ=1/2、θ=60°のとき最小値=-(5/4)
cosθ=-1、θ=180°のとき最大値=1

2つ目
a>0,
y=-x^2+2ax+3=-(x-a)^2+a^2+3
(1)
頂点(a,a^2+3)

(2)
0≦x≦3aより
x=aのときyの最大値=a^2+3
x=3aのときyの最小値=3-3a^2

(3)
0≦x≦3aでy≧0となるaの範囲は
yの最小値=3-3a^2≧0 であれば良いから
 a^2≦1
a>0より
∴0<a≦1

とりあえずここまで

投稿日時 - 2013-12-24 12:29:19

ANo.1

1つ目
xの2次関数y=x2乗+(2sinθ)x-cosθについて、次の問いに答えなさい。
ただし、0°≦θ≦180°とする。
(1)2次関数のグラフの頂点を求めなさい。
>y=x^2+(2sinθ)x-cosθ=(x+sinθ)^2-cosθ-sin^2θ
ここで(x+sinθ)^2≧0だからx+sinθ=0のときにyは
最小値-cosθ-sin^2θとなるので、
頂点は(-sinθ,-cosθ-sin^2θ)・・・答
(2)2次関数のグラフの頂点のy座標をYとおくとき、Yの最大値、最小値を求めなさい。また、その時のθの値も求めなさい。
>Y=-cosθ-sin^2θ=-cosθ-(1-cos^2θ)=cos^2θ-cosθ-1
=(cosθ-1/2)^2-1-1/4=(cosθ-1/2)^2-5/4≧-5/4
よって、Yはcosθ=1/2のときに最小値-5/4となる。
そのときcosθ=1/2、0°≦θ≦180°ではθ=60°。
 また、(cosθ-1/2)^2は、|cosθ-1/2|が最大のとき、
すなわち0°≦θ≦180°では-1≦cosθ≦1だから
-1-1/2≦cosθ-1/2≦1-1/2すなわち-3/2≦cosθ-1/2≦1/2
から|cosθ-1/2|=3/2のときに最大となり、その値は
(cosθ-1/2)^2=9/4、よって、Yの最大値は9/4-5/4=4/4=1。
そのときcosθ=-1、θ=180°。以上から
Yの最大値は1、その時θ=180°、・・・答
Yの最小値は-5/4、その時θ=60°・・・答

2つ目
aをa>0なる定数とする。2次関数y=-x2乗+2ax+3について次に答えなさい。
(1)2次関数のグラフの頂点を求めなさい。
>y=-x^2+2ax+3=-(x-a)^2+3+a^2だから頂点は(a,a^2+3)・・・答
(2)0≦x≦3aでのyの最大値、最小値、そのときのxの値を求めなさい。
>x^2の係数が負だからグラフは上に凸(∩のような形)の二次曲線。
頂点が(a,a^2+3)だから0≦x≦3aではx=aのときにyは最大値a^2+3
になり、x=3aのときに最小値y=-(3a)^2+2a*(3a)+3=-9a^2+6a^2+3
=-3a^2+3となる。以上から
yの最大値はa^2+3、そのときx=a、・・・答
yの最小値は-3a^2+3、そのときx=3a・・・答
(3)0≦x≦3aでy≧0となるaの範囲を求めなさい。
>yの最小値≧0であればよいので-3a^2+3≧0、すなわち1≧a^2だから
|a|≦1となるが、a>0が前提だから0<a≦1・・・答

3つ目
△ABCにおいて、AC=2、∠B=30°、∠C=45°のとき、次の問いに答えなさい。
(1)Aから辺BCに下ろした垂線をAHとするとき、辺AHとするとき、辺AHと辺BHの長さを求めなさい。また、△ABCの面積Sを求めなさい。
>△AHCは直角二等辺三角形だからAH=CH、三平方の定理により
AH^2+CH^2=2^2=4、2AH^2=4からAH=√2・・・答
>BHtan30°=AH、tan30°=1/√3からBH=AH/tan30°=√2*√3=√6・・・答
>△ABCの面積S=(1/2)*AH*BC=(1/2)*AH*(BH+CH)=(1/2)*AH*(BH+AH)
=(1/2)*√2*(√6+√2)=1+√3・・・答
辺AH=√2、辺BH=√6、面積S=3√3/4、、、で良いかな、と思います。答えは貰えませんでしたので、、、

△ABC内において、Cを中心に線分ACを半径とする円とBを中心に線分ABを半径とする円の共通部分の面積S”を求めなさい。
>Cを中心に線分ACを半径とする円とBCとの交点をD、Bを中心に線分ABを
半径とする円とBCとの交点をEとする。
三平方の定理によりAB=√(AH^2+BH^2)=√8=2√2
扇形ADCの面積をS1とするとS1=4π*(45/360)=π/2
扇形AEBの面積をS2とするとS2=8π*(30/360)=2π/3
S”=S1-(S-S2)=π/2-(1+√3-2π/3)=7π/6-1-√3・・・答

投稿日時 - 2013-12-24 11:34:53

お礼

ありがとうございます!!理解し、頭に叩き込みます。

投稿日時 - 2013-12-24 12:26:16

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